位移矩阵的数学推导和应用 | WebGL 从入门到放弃 (20)

2023-09-05 17:12:19

位移矩阵：探索对象在 3D 空间中的位置

在 3D 图形学的领域中，位移矩阵扮演着至关重要的角色。它是一种 4x4 矩阵，能够准确对象在三维空间中的位置。通过使用位移矩阵，我们可以轻松地将对象从一个位置移动到另一个位置，或者让它们进行动画变换。

位移矩阵的构成

位移矩阵由 16 个元素组成，排列成 4 行 4 列。其中，前三行被称为 旋转矩阵 ，它们分别对应于 X、Y、Z 三个坐标轴。旋转矩阵控制着对象的旋转，而第四行为 平移向量 ，控制着对象的平移。

T = \begin{bmatrix} r_{11} & r_{12} & r_{13} & t_x \\ r_{21} & r_{22} & r_{23} & t_y \\ r_{31} & r_{32} & r_{33} & t_z \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}

其中，

r_{ij} 是旋转矩阵的元素
t_x, t_y, t_z 是平移向量的元素

位移矩阵的应用

位移矩阵在 3D 图形学中有广泛的应用。最常见的应用之一就是移动对象。通过将位移矩阵应用于对象，我们可以将其从一个位置移动到另一个位置。

import numpy as np

# 创建位移矩阵
translation_matrix = np.array([[1, 0, 0, 5],
                               [0, 1, 0, 0],
                               [0, 0, 1, 0],
                               [0, 0, 0, 1]])

# 将位移矩阵应用于对象
object_position = np.array([0, 0, 0, 1])
new_position = np.matmul(translation_matrix, object_position)

另一个常见的应用是创建动画。通过对位移矩阵进行一系列变换，我们可以控制对象在时间上的运动。

import numpy as np

# 创建一个空的位移矩阵列表
translation_matrices = []

# 为每个时间步创建位移矩阵
for t in range(10):
    translation_matrix = np.array([[1, 0, 0, t],
                                   [0, 1, 0, 0],
                                   [0, 0, 1, 0],
                                   [0, 0, 0, 1]])
    translation_matrices.append(translation_matrix)

# 将位移矩阵应用于对象
object_position = np.array([0, 0, 0, 1])
for translation_matrix in translation_matrices:
    new_position = np.matmul(translation_matrix, object_position)
    # 在屏幕上渲染对象

常见问题解答

1. 如何创建位移矩阵？

可以通过使用 numpy.array() 函数创建位移矩阵。

import numpy as np

# 创建位移矩阵
translation_matrix = np.array([[1, 0, 0, 5],
                               [0, 1, 0, 0],
                               [0, 0, 1, 0],
                               [0, 0, 0, 1]])

2. 如何将位移矩阵应用于对象？

可以通过使用 numpy.matmul() 函数将位移矩阵应用于对象。

import numpy as np

# 创建位移矩阵
translation_matrix = np.array([[1, 0, 0, 5],
                               [0, 1, 0, 0],
                               [0, 0, 1, 0],
                               [0, 0, 0, 1]])

# 创建对象
object_position = np.array([0, 0, 0, 1])

# 将位移矩阵应用于对象
new_position = np.matmul(translation_matrix, object_position)

3. 如何使用位移矩阵创建动画？

可以通过对位移矩阵进行一系列变换来使用位移矩阵创建动画。

import numpy as np

# 创建一个空的位移矩阵列表
translation_matrices = []

# 为每个时间步创建位移矩阵
for t in range(10):
    translation_matrix = np.array([[1, 0, 0, t],
                                   [0, 1, 0, 0],
                                   [0, 0, 1, 0],
                                   [0, 0, 0, 1]])
    translation_matrices.append(translation_matrix)

# 将位移矩阵应用于对象
object_position = np.array([0, 0, 0, 1])
for translation_matrix in translation_matrices:
    new_position = np.matmul(translation_matrix, object_position)
    # 在屏幕上渲染对象