最少硬币找零问题：JavaScript实现的全面解析

2023-12-24 16:57:16

最少硬币找零问题：JavaScript 实现

导语

在本文中，我们将讨论最少硬币找零问题并提供JavaScript实现。首先，我们将定义问题并理解其背后的数学原理。然后，我们将逐步构建解决方案，展示如何使用动态规划技术来解决问题。最后，我们将提供一个JavaScript实现，以便读者可以轻松理解和使用该算法。

定义

最少硬币找零问题是一个经典的动态规划问题。问题是给定一组硬币的面值和一个要找零的金额，如何选择最少的硬币来组成该金额。例如，给定面值分别为1、2、5和6的硬币，如果要找零11元，我们可以选择1个5元硬币、1个2元硬币和4个1元硬币，总共6个硬币。这是找零11元的最少硬币组合。

数学原理

最少硬币找零问题的数学原理可以表示为一个递归方程：

f(n) = min(f(n-1), f(n-2), ..., f(n-k)) + 1

其中：

f(n) 是找零n元的最少硬币数
k是给定硬币面值的最大值

这个方程表示，要找零n元，我们可以选择使用面值为1、2、...、k的硬币中的一种，然后将剩下的金额n-1、n-2、...、n-k元分别找零。最优解就是选择使f(n)最小的方案。

动态规划解决方案

我们可以使用动态规划技术来解决最少硬币找零问题。动态规划是一种自底向上的方法，它将问题分解成更小的子问题，然后逐步解决这些子问题，最终得到整个问题的解。

在最少硬币找零问题中，我们可以将问题分解成如下子问题：

找零1元的最少硬币数
找零2元的最少硬币数
...
找零n元的最少硬币数

我们可以使用一个数组dp来存储这些子问题的解。dp[i]表示找零i元的最少硬币数。我们从dp[0]开始，依次计算dp[1]、dp[2]、...、dp[n]。

// 创建一个数组dp来存储子问题的解
const dp = new Array(n + 1).fill(Infinity);

// 初始化dp[0]为0
dp[0] = 0;

// 遍历从1到n的所有金额
for (let i = 1; i <= n; i++) {
  // 对于每个金额i，尝试使用所有面值的硬币找零
  for (let j = 1; j <= k; j++) {
    // 如果金额i大于或等于硬币面值j
    if (i >= j) {
      // 更新dp[i]为dp[i - j]加1的最小值
      dp[i] = Math.min(dp[i], dp[i - j] + 1);
    }
  }
}

JavaScript 实现

function findMinCoins(coins, amount) {
  // 创建一个数组dp来存储子问题的解
  const dp = new Array(amount + 1).fill(Infinity);

  // 初始化dp[0]为0
  dp[0] = 0;

  // 遍历从1到n的所有金额
  for (let i = 1; i <= amount; i++) {
    // 对于每个金额i，尝试使用所有面值的硬币找零
    for (let j = 0; j < coins.length; j++) {
      // 如果金额i大于或等于硬币面值j
      if (i >= coins[j]) {
        // 更新dp[i]为dp[i - j]加1的最小值
        dp[i] = Math.min(dp[i], dp[i - coins[j]] + 1);
      }
    }
  }

  // 返回找零amount元的最少硬币数
  return dp[amount];
}

// 测试用例
const coins = [1, 2, 5, 6];
const amount = 11;

// 计算最少硬币数
const minCoins = findMinCoins(coins, amount);

// 输出结果
console.log(`找零${amount}元的最少硬币数为：${minCoins}`);