解构动态规划：以题型练习为线索

2023-10-09 12:47:33

动态规划：解决复杂问题的璀璨明珠

在算法的浩瀚世界中，动态规划（DP）宛如一颗璀璨的明珠，以其解决复杂问题的能力而著称。这种强大的算法通过将看似不可逾越的大问题分解成小巧可控的子问题，逐步化繁为简，最终为我们找到最佳方案。

想象一下，当你面对一个复杂的问题时，它就像一棵枝繁叶茂的树状结构。树的根节点代表问题的初始状态，而子问题及其相应状态就像树的分支。通过系统地探索这些分支，我们最终可以找到通往最优解的路径。

动态规划中，递归是分解大问题为子问题的有力工具。然而，直接递归往往会陷入指数级时间复杂度的陷阱。为了解决这个问题，我们引入备忘录，将已经求解过的子问题及其解存储起来，避免重复计算，大大提升了算法的效率。

练习 1：斐波那契数列

计算斐波那契数列的第 n 项。斐波那契数列的定义如下：F(0) = 0，F(1) = 1，F(n) = F(n-1) + F(n-2)（n ≥ 2）。

练习 2：最长公共子序列

求两个字符串的最长公共子序列。最长公共子序列是指两个字符串中按顺序排列的、最长的相同字符序列。

练习 3：背包问题

给定一组物品，每个物品都有自己的重量和价值。现在需要从这些物品中挑选一些，放入一个总重量不超过背包容量的背包中，使得背包中的物品总价值最大。

练习 4：最长上升子序列

给定一个整数数组，求其最长上升子序列的长度。最长上升子序列是指数组中按顺序排列的、最长的、递增的子序列。

实例：背包问题

题目

给定一组物品，每个物品都有自己的重量和价值，现在需要从这些物品中挑选一些，放入一个总重量不超过背包容量的背包中，使得背包中的物品总价值最大。

算法步骤：

定义子问题： dp[i][j]表示前 i 个物品放入容量为 j 的背包中所能获得的最大价值。
状态转移方程： dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i-1][j-w[i]] + v[i])，其中 w[i] 和 v[i] 分别表示第 i 个物品的重量和价值。
边界条件： dp[0][j] = 0，表示前 0 个物品放入容量为 j 的背包中所能获得的最大价值为 0。
计算顺序： 从 i = 1 到 n（物品个数）和从 j = w[i] 到背包容量循环计算 dp[i][j]。
最优解： dp[n][背包容量]表示背包中物品总价值的最大值。