洞悉 Welzl 算法：巧妙构造最小包围球之法

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2023-12-19 06:33:50

探索未知，挑战极限，这是人类与生俱来的冲动。当我们面对浩瀚的宇宙和无垠的大海时，我们不禁会思考：如何才能找到一个点，使得它与所有其他点的距离之和最小？这就是最小包围球问题，一个看似简单却又充满挑战的几何问题。

在计算机图形学、机器人学和分子模拟等领域，最小包围球问题有着广泛的应用。为了解决这个问题，数学家和计算机科学家们提出了各种算法，其中 Welzl 算法以其简洁高效而备受推崇。

Welzl 算法是一种随机增量算法，它通过递归地选择点来构建最小包围球。算法的核心思想是：如果我们已经知道了一个最小包围球，那么当我们加入一个新的点时，最小包围球要么保持不变，要么需要扩展才能包含新的点。

为了更好地理解 Welzl 算法，让我们先来了解一下最小包围球的基本概念。在三维空间中，最小包围球是一个球体，使得所有给定点都在球体内部或球体表面上，并且球体的半径最小。

现在，让我们回到 Welzl 算法。算法的初始状态是一个空集合，因为没有任何点需要包围。当我们加入第一个点时，它就是最小包围球的中心，半径为 0。当我们加入第二个点时，最小包围球要么保持不变，要么扩展成一个更大的球体，以包含这两个点。

随着我们加入更多的点，最小包围球会不断扩展或保持不变。当我们加入所有点时，我们就找到了最小包围球。

Welzl 算法的伪代码如下：

def welzl(points):
  """
  计算给定点集的最小包围球。

  参数：
    points: 点集。

  返回值：
    最小包围球。
  """

  # 如果点集为空，则返回一个空包围球。
  if not points:
    return None

  # 如果点集只有一个点，则该点就是最小包围球的中心，半径为 0。
  if len(points) == 1:
    return Ball(points[0], 0)

  # 随机选择一个点作为最小包围球的中心。
  center = random.choice(points)

  # 将剩下的点划分为两组：在最小包围球内的点和在最小包围球外的点。
  inside = []
  outside = []
  for point in points:
    if distance(point, center) <= radius:
      inside.append(point)
    else:
      outside.append(point)

  # 如果所有点都在最小包围球内，则该最小包围球就是最终结果。
  if not outside:
    return Ball(center, radius)

  # 在剩下的点中递归地计算最小包围球。
  ball = welzl(outside)

  # 如果递归得到的最小包围球包含了中心点，则该最小包围球就是最终结果。
  if center in ball:
    return ball

  # 否则，将中心点添加到最小包围球中，并返回扩展后的最小包围球。
  else:
    return Ball(center, radius + distance(center, ball.center))