博弈的乐趣：玩转 292. Nim 游戏

后端

2023-08-23 18:58:03

Nim 游戏是一种经典的数学游戏，以其简单的规则和深奥的策略吸引着无数玩家的兴趣。本文将探讨 Nim 游戏的数学原理、获胜策略，并提供相应的代码示例，帮助读者更好地理解和应用这一策略。

Nim 游戏简介

Nim 游戏是一种简单的计数游戏，玩家轮流从一堆石头中拿走任意数量的石头，直到没有石头可拿。最后拿走石头的玩家即为获胜者。游戏既适合儿童也适合成人，是锻炼逻辑思维和策略能力的好工具。

Nim 游戏的基本规则

游戏开始时，桌面上有若干个石头。
玩家轮流进行自己的回合。
在你的回合中，你可以从这堆石头中拿走任意数量的石头（至少一个）。
拿走石头后，轮到你的对手进行回合。
游戏持续到没有石头可拿时结束。
最后拿走石头的玩家获胜。

Nim 游戏的数学原理：Nim 和

Nim 游戏的获胜策略背后隐藏着巧妙的数学原理，称为 Nim 和。Nim 和是游戏当前状态的数字表示，计算方法如下：

将当前游戏状态下的所有石头的数量写成二进制。
将所有二进制数的每一位相加，取模 2。
结果就是 Nim 和。

Nim 和的性质：

如果一个游戏的 Nim 和为 0，那么先手必败。
如果一个游戏的 Nim 和不为 0，那么先手必胜。

Nim 游戏的获胜策略

基于 Nim 和的性质，我们可以得出 Nim 游戏的获胜策略：

如果当前游戏状态的 Nim 和为 0，那么先手应该拿走任意数量的石头，使 Nim 和变为非 0。
如果当前游戏状态的 Nim 和不为 0，那么先手应该拿走任意数量的石头，使 Nim 和变为 0。

代码示例

以下是一个用 Python 实现的 Nim 游戏示例，包含计算 Nim 和和制定获胜策略的函数：

def nim_sum(stones):
    """计算当前游戏状态的 Nim 和。

    Args:
        stones: 当前游戏状态下的石头数量。

    Returns:
        Nim 和。
    """
    nim_sum = 0
    for stone in stones:
        nim_sum ^= stone

    return nim_sum


def nim_strategy(stones):
    """根据当前游戏状态计算获胜策略。

    Args:
        stones: 当前游戏状态下的石头数量。

    Returns:
        获胜策略，即应该拿走的石头数量。
    """
    nim_sum = nim_sum(stones)

    if nim_sum == 0:
        return 1  # 先手拿走任意数量的石头

    # 否则，根据 Nim 和的性质，先手应该让 Nim 和变为 0
    for stone in stones:
        new_nim_sum = nim_sum ^ stone
        if new_nim_sum == 0:
            return stone

    raise Exception("没有找到获胜策略")