背包装载策略：实现最优物品选择

后端

2023-09-28 05:29:02

揭秘完全背包问题：动态规划的经典之作

什么是完全背包问题？

试想一下，你背着一个容量有限的背包，里面装满了各种物品，每件物品都有自己的重量和价值。你的任务是精心挑选物品，确保在不超重的情况下获得最大的总价值。这就是完全背包问题。

与其他背包问题不同，在完全背包问题中，你手上的物品可以任意重复装入背包。这使得问题变得更加复杂，因为你需要考虑物品的装载顺序和数量。

动态规划的妙招

动态规划是一种解决最优决策问题的绝妙方法，它将复杂问题分解成一系列更小的子问题。在完全背包问题中，子问题是：

给定背包容量 j，在不考虑第 i 件物品的情况下，放入前 i 件物品的最大价值是多少？

动态规划通过逐步解决这些子问题来找到最优解。对于每个子问题，我们考虑两种可能：

不放入第 i 件物品： 最大价值等于背包容量为 j 时的前 i-1 件物品的最大价值。
放入第 i 件物品： 最大价值等于背包容量为 j-weight[i]（减去第 i 件物品的重量）时的前 i-1 件物品的最大价值，再加上第 i 件物品的价值。

通过比较这两种情况，我们可以找到最佳选择，并构建一个表格（称为动态规划表格）来记录所有子问题的解。

一个实战示例

假设你有一个背包，容量为 7，有四件物品：

物品	重量	价值
1	1	1
2	3	4
3	4	5
4	5	7

按照动态规划的步骤，我们可以构建动态规划表格：

j/i	0	1	2	3	4	5	6	7
0	0	0	0	0	0	0	0	0
1	1	1	1	1	1	1	1	1
2	1	1	1	1	1	2	2	2
3	1	1	1	2	2	2	3	3
4	1	1	4	5	5	6	7	7

从表格中，我们可以看出，当背包容量为 7 时，放入前 4 件物品的最大价值为 15。这表明你应该放入物品 2、3、4 各一件，这样既能装满背包，又能获得最大的价值。

代码示例

def backpack(weight, value, capacity):
    n = len(weight)
    dp = [[0] * (capacity + 1) for _ in range(n + 1)]

    for i in range(1, n + 1):
        for j in range(1, capacity + 1):
            if weight[i - 1] <= j:
                dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - weight[i - 1]] + value[i - 1])
            else:
                dp[i][j] = dp[i - 1][j]

    return dp[n][capacity]