立足基础算法题解 — LeetCode 第 633 题：平方数之和

前端

2023-10-17 01:41:20

一、题目

给定一个非负整数 c，你要判断是否存在两个整数 a 和 b，使得 a^2 + b^2 = c。

二、数学知识

为了解决这个问题，我们需要用到一些数学知识。

首先，我们知道任何一个正整数都可以表示为若干个质数的乘积。例如，12 可以表示为 2^2 * 3。

其次，我们知道任何一个正整数的平方都可以表示为若干个质数的偶次幂的乘积。例如，16 可以表示为 2^4。

最后，我们知道任何一个正整数的平方和都可以表示为若干个质数的奇次幂的乘积。例如，25 可以表示为 5^2。

三、数学证明

现在，我们来证明一下，如果一个整数能够表示为两个整数的平方和，那么它一定满足一定的条件。

假设整数 c 能够表示为两个整数 a 和 b 的平方和，即 c = a^2 + b^2。

那么，c 一定可以表示为若干个质数的乘积。

因为 a^2 和 b^2 都可以表示为若干个质数的偶次幂的乘积，所以 c = a^2 + b^2 也一定可以表示为若干个质数的偶次幂的乘积。

但是，我们知道，任何一个正整数的平方和都只能表示为若干个质数的奇次幂的乘积。

所以，c 不可能表示为两个整数的平方和。

四、编程实现

我们可以使用两种方法来编程实现这个问题。

方法一：枚举

第一种方法是枚举所有可能的 a 和 b 的值，并计算 a^2 + b^2 的值，看看是否等于 c。

def judge_square_sum(c):
  """
  判断一个整数能否表示为两个整数的平方和。

  Args:
    c: 一个非负整数。

  Returns:
    如果能够表示，返回 True；否则，返回 False。
  """

  for a in range(1, c + 1):
    for b in range(1, c + 1):
      if a * a + b * b == c:
        return True

  return False

方法二：数学性质

第二种方法是利用我们前面证明的数学性质，直接判断 c 是否满足一定的条件。

def judge_square_sum(c):
  """
  判断一个整数能否表示为两个整数的平方和。

  Args:
    c: 一个非负整数。

  Returns:
    如果能够表示，返回 True；否则，返回 False。
  """

  while c % 4 == 0:
    c //= 4

  if c % 8 == 7:
    return False

  for a in range(1, int(c ** 0.5) + 1):
    if a * a > c:
      break

    b = (c - a * a) ** 0.5

    if b == int(b):
      return True

  return False