目标和：从01背包问题解析其动态规划实现

2024-01-04 22:47:36

目标和问题给定一个整数数组 nums 和一个整数 target，要求通过在每个整数前添加 '+' 或 '-'，将这些整数串联起来，得到一个表达式，其值为 target。例如，对于 nums = [2, 1]，可以构造出表达式 "+2-1"，其值为 1。

01背包问题介绍：01背包问题是动态规划的经典问题之一，与目标和问题有着密切的联系。在01背包问题中，给定一个背包容量和一组物品，每个物品都有自己的重量和价值，要求在不超过背包容量的前提下，选择物品装入背包，使得背包的总价值最大。

动态规划基本思想：动态规划的基本思想是将一个复杂问题分解成若干个子问题，并逐步求解这些子问题，最终得到整个问题的解。对于目标和问题，我们可以将问题分解成若干个子问题：对于当前整数 i，可以选择在它前面添加 '+' 或 '-'，那么对于子问题 i-1，我们就可以得到两个新的子问题：在 i-1 前面添加 '+' 或 '-'，并计算出它们的表达式值。

状态转移方程：对于子问题 i，在它前面添加 '+' 或 '-' 的状态转移方程可以表示为：
dp[i][0] = dp[i-1][0] + nums[i]
dp[i][1] = dp[i-1][1] - nums[i]
其中，dp[i][0] 表示在 i 前面添加 '+' 的表达式值，dp[i][1] 表示在 i 前面添加 '-' 的表达式值。

最优子结构：目标和问题的最优子结构体现在于：对于子问题 i，它的最优解依赖于子问题 i-1 的最优解。这正是动态规划能够发挥作用的地方，我们可以通过计算出子问题 i-1 的最优解，然后根据状态转移方程计算出子问题 i 的最优解。

递归和剪枝：在实现动态规划算法时，可以使用递归的方法来求解子问题。然而，对于目标和问题，递归的方法可能会导致大量的重复计算，从而降低算法的效率。因此，我们可以使用剪枝技术来避免重复计算。

剪枝的基本思想是：如果在计算子问题 i 的最优解时，发现已经计算过子问题 i-1 的最优解，那么就可以直接使用子问题 i-1 的最优解，而无需再次计算。这可以大大减少计算量，提高算法的效率。

动态规划的实现：我们可以使用动态规划算法来求解目标和问题。具体实现步骤如下：

初始化 dp 数组：dp[i][0] 和 dp[i][1] 分别表示在 i 前面添加 '+' 或 '-' 的表达式值，初始化为 0。
遍历数组 nums：
- 对于每个整数 nums[i]，计算 dp[i][0] 和 dp[i][1] 的值，根据状态转移方程。
- 如果 dp[i][0] == target 或 dp[i][1] == target，则说明已经找到一个可行的表达式，直接返回。
返回 dp[n][0] 和 dp[n][1] 的最大值，其中 n 是数组 nums 的长度。

示例：对于 nums = [2, 1] 和 target = 1，动态规划算法的计算过程如下：