巧取豪夺，步步为营：掌握拼接数组最大值技巧

2023-10-03 05:04:59

拼接数组：从两个数组中选择最大数字

在计算机科学和数学领域，拼接数组是一种具有挑战性的难题，需要从多个数组中选择元素并拼接成一个新数组，以满足特定的目标。拼接数组问题的核心在于如何选择最优的元素并将其组合，从而获得最大的收益。

问题分析

给定两个长度分别为 m 和 n 的数组，其中元素由 0-9 组成，表示两个自然数各位上的数字。从这两个数组中选出 k 个数字拼接成一个新的数，要求从同一个数组中取出的数字保持其在原数组中的相对顺序。求满足该条件的最大数。结果返回一个表示该最大数的字符串。

贪心算法

贪心算法是一种针对特定问题而设计的简单、高效的算法。它通过一系列贪婪的选择，一步一步地逼近问题的最优解。在这种拼接数组问题中，贪心算法可以用来选择当前最优的数字添加到新数中。

将两个数组中的元素从小到大排序，分别记为 A 和 B。同时，将一个空数组 C 作为最终拼接结果。
循环比较 A 和 B 中的第一个元素。
将较大的元素添加到 C 中。
从该元素所在的数组中移除该元素。
重复步骤 2-4，直至达到 k 个元素。
将 C 中的元素连接成一个字符串，并返回该字符串。

动态规划

动态规划是一种用于解决优化问题的算法。它通过将问题分解成更小的子问题，并逐步求解这些子问题，最终获得整个问题的最优解。

状态定义：

dp[i][j][k] 表示使用 A 数组的前 i 个元素和 B 数组的前 j 个元素，拼接成 k 个数字后的最大数。

状态转移方程：

dp[i][j][k] = max(dp[i-1][j][k], dp[i][j-1][k], dp[i-1][j][k-1] + A[i], dp[i][j-1][k-1] + B[j])

边界条件：

dp[0][0][0] = 0

计算过程：

for i = 1 to m
for j = 1 to n
for k = 1 to k
dp[i][j][k] = max(dp[i-1][j][k], dp[i][j-1][k], dp[i-1][j][k-1] + A[i], dp[i][j-1][k-1] + B[j])

结果获取：

return dp[m][n][k]

代码实现

def max_number(A, B, k):
    """
    从两个数组中选出 k 个数字拼接成一个新的数，要求从同一个数组中取出的数字保持其在原数组中的相对顺序。
    求满足该条件的最大数。结果返回一个表示该最大数的字符串。

    :param A: 数组 A，长度为 m
    :param B: 数组 B，长度为 n
    :param k: 要选取的数字的个数
    :return: 拼接后的最大数
    """

    # 将两个数组中的元素从小到大排序
    A.sort()
    B.sort()

    # 初始化动态规划数组
    dp = [[[0 for _ in range(k + 1)] for _ in range(len(B) + 1)] for _ in range(len(A) + 1)]

    # 计算动态规划数组
    for i in range(1, len(A) + 1):
        for j in range(1, len(B) + 1):
            for l in range(1, k + 1):
                dp[i][j][l] = max(dp[i-1][j][l], dp[i][j-1][l], dp[i-1][j][l-1] + A[i-1], dp[i][j-1][l-1] + B[j-1])

    # 获取最终结果
    result = []
    i = len(A)
    j = len(B)
    l = k
    while i > 0 or j > 0 or l > 0:
        if dp[i][j][l] == dp[i-1][j][l]:
            i -= 1
        elif dp[i][j][l] == dp[i][j-1][l]:
            j -= 1
        else:
            result.append(max(A[i-1], B[j-1]))
            i -= 1
            j -= 1
            l -= 1

    # 将结果连接成字符串并返回
    return ''.join(map(str, result[::-1]))


if __name__ == "__main__":
    A = [3, 4, 6, 5]
    B = [9, 1, 2, 5, 8, 3]
    k = 5
    result = max_number(A, B, k)
    print("拼接后的最大数：", result)