返回

矢量的计算：判断线段重叠、相交，合并线段，点与线的关系

闲谈

点乘与叉乘

在向量运算中，点乘和叉乘是两种非常重要的运算。点乘可以用来计算两个向量的长度和夹角，而叉乘可以用来计算两个向量的面积和法向量。

点乘

两个向量的点乘等于这两个向量的长度的乘积与它们之间夹角的余弦值的乘积。即：

A · B = |A||B|cosθ

其中，A和B是两个向量，|A|和|B|分别是它们的长度，θ是它们之间的夹角。

叉乘

两个向量的叉乘等于一个向量，其长度等于这两个向量的长度的乘积与它们之间夹角的正弦值的乘积，其方向垂直于这两个向量。即：

A × B = |A||B|sinθn

其中，A和B是两个向量，|A|和|B|分别是它们的长度，θ是它们之间的夹角，n是垂直于这两个向量的单位向量。

判断点与直线的位置关系

给定一个点P和一条直线L，我们可以利用点乘和叉乘来判断P与L的位置关系。

  • 如果P在L上，那么P到L的距离为0。
  • 如果P不在L上，那么P到L的距离等于P到L上最近点的距离。

我们可以通过计算P到L上任意一点的距离来判断P与L的位置关系。如果P到L上任意一点的距离都大于0，那么P不在L上。否则，P在L上。

判断两线段是否相交并计算交叉点

给定两条线段AB和CD，我们可以利用点乘和叉乘来判断它们是否相交以及计算它们的交叉点。

  1. 判断两线段是否相交

我们可以通过计算AB和CD的叉乘来判断它们是否相交。如果AB和CD的叉乘为0，那么它们平行或重合。否则，它们相交。

  1. 计算两线段的交叉点

如果AB和CD相交，那么我们可以通过计算AB和CD的点乘来计算它们的交叉点。交叉点的坐标为：

P = A + t(B - A)

其中，t是AB和CD的点乘除以AB和CD的长度的平方。

判断两线段重合并计算其重合部分

给定两条线段AB和CD，我们可以利用点乘和叉乘来判断它们是否重合以及计算它们的重合部分。

  1. 判断两线段是否重合

我们可以通过计算AB和CD的叉乘来判断它们是否重合。如果AB和CD的叉乘为0，那么它们平行或重合。否则，它们不重合。

  1. 计算两线段的重合部分

如果AB和CD重合，那么我们可以通过计算AB和CD的点乘来计算它们的重合部分。重合部分的坐标为：

P = A + t(B - A)

其中，t是AB和CD的点乘除以AB和CD的长度的平方。

实例

  • 判断点P是否在线段AB上
if (P - A) · (B - A) == 0:
    return True
else:
    return False
  • 判断两线段AB和CD是否相交
if (B - A) × (D - C) == 0:
    return False
else:
    return True
  • 计算两线段AB和CD的交叉点
t = (B - A) · (C - D) / (B - A) · (B - A)
P = A + t(B - A)
  • 判断两线段AB和CD是否重合
if (B - A) × (D - C) == 0:
    return True
else:
    return False
  • 计算两线段AB和CD的重合部分
t = (B - A) · (C - D) / (B - A) · (B - A)
P = A + t(B - A)