巅峰对决：专业窃贼与严密防盗系统之间的周旋

2023-11-25 19:36:30

1. 问题背景：
有一天，一位经验丰富的窃贼决定对一条街上的房屋进行盗窃。每间房屋内都藏有一定的现金，但影响他盗窃的唯一制约因素是相邻的房屋装有相互连通的防盗系统，如果两间相邻的房屋在同一晚上被小偷闯入，系统会自动报警。因此，这位窃贼需要仔细规划自己的偷窃路线，以便最大限度地窃取现金，同时避免触发警报。

2. 问题限制：

窃贼只能从第一间房屋或最后间房屋开始偷窃。
窃贼只能偷窃相邻的房屋。
窃贼不能偷窃同一间房屋两次。

3. 动态规划思想：
动态规划是一种解决复杂问题的算法，它将问题分解成一系列更小的子问题，然后通过反复求解子问题来逐步解决整个问题。在这种情况下，我们可以将问题分解成两个子问题：

当窃贼从第一间房屋开始偷窃时，他最多可以偷取多少现金？
当窃贼从最后间房屋开始偷窃时，他最多可以偷取多少现金？

一旦我们知道了这两个子问题的答案，就可以通过比较这两个答案来得到最终答案。

4. 动态规划步骤：

定义子问题：
- dp[i]：当窃贼从第 i 间房屋开始偷窃时，他最多可以偷取的现金数额。
确定子问题的依赖关系：
- dp[i] 依赖于 dp[i-1] 和 dp[i-2]。这是因为窃贼只能偷窃相邻的房屋，因此当他决定偷窃第 i 间房屋时，他要么从第 i-1 间房屋继续偷窃，要么从第 i-2 间房屋继续偷窃。
确定子问题的边界条件：
- dp[0]：当窃贼从第一间房屋开始偷窃时，他最多可以偷取的现金数额为第一间房屋内的现金数额。
- dp[1]：当窃贼从第二间房屋开始偷窃时，他最多可以偷取的现金数额为第二间房屋内的现金数额。
编写子问题的递推关系式：
- dp[i] = max(dp[i-1], dp[i-2] + nums[i])。
求解子问题：
- 我们可以从第一个子问题开始求解，然后依次求解后面的子问题。当我们求解到最后一个子问题时，我们就得到了最终答案。

5. 实际示例：

假设我们有一条街上的房屋，每间房屋内的现金数额如下：

[1, 2, 3, 1, 2, 3]

我们可以根据动态规划的步骤来求解这个问题：

定义子问题：
- dp[i]：当窃贼从第 i 间房屋开始偷窃时，他最多可以偷取的现金数额。
确定子问题的依赖关系：
- dp[i] 依赖于 dp[i-1] 和 dp[i-2]。
确定子问题的边界条件：
- dp[0]：当窃贼从第一间房屋开始偷窃时，他最多可以偷取的现金数额为第一间房屋内的现金数额，即 $1$。
- dp[1]：当窃贼从第二间房屋开始偷窃时，他最多可以偷取的现金数额为第二间房屋内的现金数额，即 $2$。
编写子问题的递推关系式：
- dp[i] = max(dp[i-1], dp[i-2] + nums[i])。
求解子问题：
- 我们从第一个子问题开始求解，然后依次求解后面的子问题。当我们求解到最后一个子问题时，我们就得到了最终答案。

dp[0] = 1
dp[1] = 2
dp[2] = max(dp[1], dp[0] + nums[2]) = max(2, 1 + 3) = 4
dp[3] = max(dp[2], dp[1] + nums[3]) = max(4, 2 + 1) = 5
dp[4] = max(dp[3], dp[2] + nums[4]) = max(5, 4 + 2) = 7
dp[5] = max(dp[4], dp[3] + nums[5]) = max(7, 5 + 3) = 10