贝茜放慢脚步：算法中的速度优化

2023-09-13 04:41:16

AcWing 1934：优化 Bessie 放慢脚步的算法速度

摘要

对于编程新手和老手来说，算法效率都是一个不容忽视的因素。本文将深入探讨 AcWing 1934：Bessie 放慢脚步，这是一道经典的算法题，旨在检验程序员优化算法速度的能力。通过分析这道题，我们将深入了解数据结构、算法设计和代码实现方面的速度优化技巧。

问题概述

AcWing 1934：Bessie 放慢脚步是一道动态规划问题。题目了奶牛 Bessie 参加越野滑雪比赛的情况，她需要在规定时间内完成一段距离的滑行。Bessie 的初始速度为每秒 1 米，但她可以动态调整速度，每次调整后的速度不超过前一次速度的两倍。目标是找到 Bessie 完成滑行所需的最优速度序列。

速度优化技巧

要优化算法速度，我们必须从数据结构、算法设计和代码实现等方面着手。

1. 数据结构的选择

在 AcWing 1934 中，我们可以使用数组来存储 Bessie 在每个时间点的速度。由于 Bessie 的速度只能是 1 的幂次方，我们可以创建一个长度为 log(最大速度) 的数组来存储所有可能的速度。这将大大减少数据存储空间和数据访问时间。

2. 贪心算法

贪心算法是一种自底向上的方法，在每个决策点选择当前最优解。在 AcWing 1934 中，我们可以使用贪心算法来选择 Bessie 在每个时间点的速度。具体来说，对于每个时间点，我们可以计算出所有可能的速度，并选择最接近且不超过前一次速度两倍的速度。

3. 分治算法

分治算法是一种自顶向下的方法，它将问题分解成更小的子问题，再递归求解子问题并合并结果。在 AcWing 1934 中，我们可以使用分治算法来求解最优解。具体来说，我们可以将问题分解成子问题，求解每个子问题的最优解，并合并结果得到整体的最优解。

4. 动态规划

动态规划是一种自底向上的方法，它将问题分解成重叠子问题，并存储子问题的最优解，以避免重复计算。在 AcWing 1934 中，我们可以使用动态规划来求解最优解。具体来说，我们可以将问题分解成子问题，求解每个子问题的最优解，并存储这些最优解，以便后续子问题复用。

代码实现

以下是用 C++ 实现的优化后的算法：

const int MAX_SPEED = 1 << 20;
int dp[MAX_SPEED];

int main() {
  // 初始化
  dp[1] = 1;
  for (int speed = 2; speed < MAX_SPEED; speed *= 2) {
    dp[speed] = dp[speed / 2] + 1;
  }

  // 求解
  int distance, time;
  cin >> distance >> time;
  int speed = 1;
  while (distance > 0) {
    while (speed * dp[speed] <= time && distance - speed * dp[speed] >= 0) {
      distance -= speed * dp[speed];
      time -= dp[speed];
    }
    speed *= 2;
  }

  // 输出
  cout << speed << endl;
  return 0;
}