攀上人生巅峰：探索 931. 下降路径最小和的奥秘

2023-09-09 13:00:00

踏上算法征途：

定义问题：
- 给定一个 m x n 的矩阵，其中每个元素是一个正整数，请您找到从矩阵左上角到右下角的路径，使得路径上的数字之和最小。
- 您只能在每个位置向下或向右移动一步。
分析问题：
- 从问题的中，我们可以发现这是一个典型的动态规划问题。我们可以通过定义子问题和状态转移方程来求解它。
- 子问题可以定义为从矩阵的左上角到 (i, j) 的最小路径和。
- 状态转移方程可以定义为：dp[i][j] = min(dp[i-1][j], dp[i][j-1]) + grid[i][j]，其中 dp[i][j] 是从左上角到 (i, j) 的最小路径和，grid[i][j] 是矩阵中 (i, j) 的元素。

设计算法：

根据上述分析，我们可以设计一个动态规划算法来求解这个问题：

def min_path_sum(grid):
    m, n = len(grid), len(grid[0])
    dp = [[float('inf')] * n for _ in range(m)]
    dp[0][0] = grid[0][0]

    for i in range(1, m):
        dp[i][0] = dp[i-1][0] + grid[i][0]

    for j in range(1, n):
        dp[0][j] = dp[0][j-1] + grid[0][j]

    for i in range(1, m):
        for j in range(1, n):
            dp[i][j] = min(dp[i-1][j], dp[i][j-1]) + grid[i][j]

    return dp[m-1][n-1]

实现算法：

我们可以使用 Python 来实现这个算法：

def main():
    grid = [[1, 3, 1],
            [1, 5, 1],
            [4, 2, 1]]

    result = min_path_sum(grid)

    print(result)  # 输出：7

if __name__ == "__main__":
    main()