探索 LeetCode 519：巧解随机翻转矩阵的奥秘

2024-02-01 10:51:37

引言

算法和数据结构是计算机科学世界的支柱，在我们的数字时代扮演着至关重要的角色。在 LeetCode 519 题，即随机翻转矩阵中，这些基本概念交织在一起，创造了一个引人入胜的谜题。在这篇博文中，我们将踏上一个探索之旅，揭开这道题的解谜思路和背后的奥秘。

问题概述

想象一下一个二进制矩阵，它由 0 和 1 组成，一个随机二进制矩阵，其元素可能是 0 或 1。你被要求设计两个函数：flip() 和 reset()。flip() 函数将随机翻转矩阵中的一个元素，而 reset() 函数将矩阵重置为其初始状态。

乍一看，这个问题似乎很简单。我们可以使用一个二维数组来存储矩阵，并在需要时直接翻转或重置元素。然而，题目中藏着一个陷阱：矩阵的大小可能达到 (10^4 \times 10^4)，这使得创建二维数组的空间复杂度达到 (10^8)，远远超出了合理范围。

解题思路

深入分析题目后，我们发现了一个关键的洞察：矩阵中的元素非常稀疏，因为 flip() 和 reset() 函数的调用次数总和不会超过 1000。这意味着矩阵中绝大多数元素都为 0，我们可以只关注为 1 的元素。

基于这个发现，我们可以采用哈希表来记录矩阵中所有为 1 的元素。当调用 flip() 函数时，我们随机选择一个 (i, j) 坐标，如果哈希表中存在该坐标，则将其删除，否则将其添加到哈希表中。通过这种方式，哈希表始终维护着矩阵中所有为 1 的元素。

数据结构设计

为了存储矩阵中为 1 的元素，我们使用哈希表 table，其中键为元素的坐标 (i, j)，值为任意非空值（例如 1）。哈希表提供了一种快速插入、删除和查找元素的方式。

函数实现

flip() 函数：

import random

def flip(table):
    # 随机生成 (i, j) 坐标
    i, j = random.randint(0, n_rows - 1), random.randint(0, n_cols - 1)
    
    # 根据坐标 (i, j) 确定元素的状态
    if (i, j) in table:
        del table[(i, j)]  # 如果元素为 1，则将其删除
    else:
        table[(i, j)] = 1  # 如果元素为 0，则将其添加到哈希表中

reset() 函数：

def reset(table):
    # 清空哈希表
    table.clear()

复杂度分析

时间复杂度：
- flip() 函数：O(1)
- reset() 函数：O(1)
空间复杂度： 哈希表存储为 1 的元素的坐标，因此空间复杂度为 O(k)，其中 k 是矩阵中为 1 的元素数量，通常远小于矩阵的总大小。

优化技巧

为了进一步优化算法，我们可以采用以下技巧：

空间换时间： 我们预先计算矩阵中所有为 1 的元素坐标，并存储在一个列表中。这种方法将 flip() 函数的时间复杂度从 O(1) 提升到 O(k)，但可以减少哈希表操作的次数。
分块查找： 如果矩阵非常大，我们可以将其划分为较小的块，并使用哈希表来存储每个块中为 1 的元素坐标。这样可以减少单个哈希表的大小，提高查找效率。