戳破气球：经典动态规划的魅力

见解分享

2024-02-15 14:10:00

戳破气球：考验动态规划功力的难题

动态规划，计算机科学中的瑰宝，以其处理复杂问题的优雅方式而著称。而“戳破气球”问题正是动态规划魅力的绝佳例证。这道题表面看似简单，实则蕴含着算法设计中的深刻奥义。

分而治之：拆解难题

戳破气球问题的核心在于求解最大得分。为了达到这个目标，我们需要依次戳破所有气球，并获得它们之间的分数。关键在于如何选择戳破气球的顺序，以最大化总分。

这个决策过程可以分解成一个个子问题：对于当前位置的每个气球，我们有两种选择：戳破它或跳过它。选择戳破它，我们会获得当前气球和左右相邻气球之间的分数；选择跳过它，则问题简化为求解剩余气球的最大得分。

重叠子问题：问题的关键

戳破气球的子问题具有重叠性，即相同的子问题可能被重复求解多次。例如，如果我们选择戳破当前位置的气球，那么它左右相邻的气球的子问题就需要重新求解。

为了避免这种重复计算，我们可以使用备忘录技术。在备忘录中，我们记录已求解的子问题的解，当需要再次求解时，直接从备忘录中读取结果。

递归求解：庖丁解牛

有了备忘录的辅助，我们可以使用递归来求解问题。递归函数的本质是将问题分解成更小的子问题，直到子问题可以轻松求解。对于戳破气球，我们可以将问题分解成两种情况：

def burst(i, j):
  if (i, j) in memo:
    return memo[(i, j)]

  if i == j:
    return nums[i]

  res = 0
  for k in range(i, j + 1):
    left = burst(i, k - 1) if i > 0 else 1
    right = burst(k + 1, j) if k < j else 1
    res = max(res, left * nums[k] * right)

  memo[(i, j)] = res
  return res

备忘录记录：化繁为简

递归求解过程中，我们使用备忘录memo来记录已求解的子问题。在每一次递归调用之前，我们检查memo中是否存在当前子问题的解。如果存在，直接返回该解；如果不存在，则递归求解子问题，并将其解存储在memo中。

通过备忘录，我们避免了重复计算，极大地提高了算法的效率。

代码实现：算法之美

有了上述思路，我们可以将戳破气球问题用代码实现出来：

def maxCoins(nums):
  """
  :type nums: List[int]
  :rtype: int
  """

  n = len(nums)
  nums = [1] + nums + [1]  # 在数组首尾各添加一个 1

  memo = {}  # 备忘录

  return burst(1, n)  # 求解 [1, n] 范围内的最大得分