从暴力搜素到动态规划，青蛙过河的终极解法！

后端

2023-04-19 02:19:31

揭秘搜索算法：从暴力到动态规划

搜索算法是计算机科学中的一块基石，它能有效地解决各种现实问题，如规划、路径查找和优化。在本文中，我们将踏上探索搜索算法演进的旅程，从最朴素的暴力搜索到高效的动态规划，并通过一个经典案例——青蛙过河问题——深入理解这三种算法的精髓。

暴力搜索：穷举求解

暴力搜索，顾名思义，就是逐个尝试所有可能性，直到找到满足条件的解。它的优点是简单易懂，但缺点也很明显：当可能性太多时，暴力搜索将变得非常低效。

记忆化搜索：记住曾经

记忆化搜索是对暴力搜索的一种改进，它在搜索过程中记录下已经访问过的状态，一旦再次遇到相同的状态，便直接返回之前的结果，避免重复计算。与暴力搜索相比，记忆化搜索大幅提升了效率。

动态规划：逐级分解

动态规划是一种更为高级的搜索算法，它将问题分解成一系列较小的子问题，逐个求解子问题，然后将子问题的解组合起来得到问题的整体解。动态规划的时间复杂度通常远低于暴力搜索和记忆化搜索。

青蛙过河问题：三种算法实战

让我们以青蛙过河问题为例，具体感受三种算法的异同。青蛙过河问题是这样的：一只青蛙想跳过一条河，河中有若干块石头，青蛙每次只能跳到相邻的石头上，求青蛙有多少种过河方案。

暴力搜索：

def frog_cross_river(stones):
    result = 0
    for i in range(1, len(stones)):
        if stones[i] - stones[i - 1] == 1:
            result += 1
    return result

暴力搜索算法直接尝试所有可能的跳跃方案，时间复杂度为 O(2^n)，其中 n 是石头数量。

记忆化搜索：

def frog_cross_river_memo(stones, memo):
    if stones[0] == stones[-1]:
        return 1
    if stones[0] + 1 in memo:
        return memo[stones[0] + 1]
    result = 0
    for i in range(1, len(stones)):
        if stones[i] - stones[i - 1] == 1 or stones[i] - stones[i - 1] == 2:
            result += frog_cross_river_memo(stones[i:], memo)
    memo[stones[0] + 1] = result
    return result

记忆化搜索算法通过记录跳过的石头，避免了重复计算，时间复杂度降至 O(n)。

动态规划：

def frog_cross_river_dp(stones):
    dp = [0] * (len(stones) + 1)
    dp[0] = 1
    for i in range(1, len(stones)):
        for j in range(i - 1, -1, -1):
            if stones[i] - stones[j] == 1 or stones[i] - stones[j] == 2:
                dp[i] += dp[j]
    return dp[-1]