算法中的子序列问题合集

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2023-09-02 12:39:08

子序列问题：计算机科学中的关键概念

什么是子序列？

想象一下你有一串珠子，你可以从珠子中取出任意数量的珠子，但不必按照它们的原始顺序。你取出的这些珠子被称为子序列。它们可能是连续的，也可能是不连续的，只要它们都属于原始序列即可。

子序列问题的类型

子序列问题在计算机科学中至关重要，它们通常与寻找最优值有关，例如：

最长公共子序列 (LCS) ：给定两个序列，找出它们最长的公共子序列，即同时出现在这两个序列中的最长子序列。

代码示例：

def lcs(s1, s2):
  dp = [[0 for _ in range(len(s2) + 1)] for _ in range(len(s1) + 1)]
  for i in range(1, len(s1) + 1):
    for j in range(1, len(s2) + 1):
      if s1[i - 1] == s2[j - 1]:
        dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + 1
      else:
        dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i][j - 1])
  lcs = ""
  i = len(s1)
  j = len(s2)
  while i > 0 and j > 0:
    if s1[i - 1] == s2[j - 1]:
      lcs = s1[i - 1] + lcs
      i -= 1
      j -= 1
    else:
      if dp[i - 1][j] > dp[i][j - 1]:
        i -= 1
      else:
        j -= 1
  return lcs

最长递增子序列 (LIS) ：给定一个序列，找出它最长的递增子序列，即序列中按升序排列的最长子序列。

代码示例：

def lis(nums):
  dp = [1 for _ in range(len(nums))]
  for i in range(1, len(nums)):
    for j in range(i):
      if nums[i] > nums[j] and dp[i] < dp[j] + 1:
        dp[i] = dp[j] + 1
  max_length = max(dp)
  lis = []
  for i in range(len(nums) - 1, -1, -1):
    if dp[i] == max_length:
      lis.append(nums[i])
      max_length -= 1
  return lis[::-1]

最长回文子序列 (LPS) ：给定一个序列，找出它最长的回文子序列，即从前往后读和从后往前读都相同的子序列。

代码示例：

def lps(s):
  dp = [[False for _ in range(len(s))] for _ in range(len(s))]
  for i in range(len(s)):
    dp[i][i] = True
  for i in range(len(s) - 1):
    if s[i] == s[i + 1]:
      dp[i][i + 1] = True
  for l in range(3, len(s) + 1):
    for i in range(0, len(s) - l + 1):
      j = i + l - 1
      if s[i] == s[j] and dp[i + 1][j - 1]:
        dp[i][j] = True
  lps = ""
  for i in range(len(s)):
    for j in range(i, len(s)):
      if dp[i][j] and len(lps) < j - i + 1:
        lps = s[i:j + 1]
  return lps