在字符串里找唯一的子串 : 正交分解法在统计中的应用

统计字符串中唯一子串的数量，是一种常见的算法问题。本文将介绍正交分解法，一种用于解决此类问题的数学方法。我们将看到正交分解法如何帮助我们计算字符串中唯一子串的数量，并提供一些示例和代码来帮助理解。

1. 问题定义

给定一个字符串 s，我们需要统计字符串 s 中唯一子串的数量。唯一子串是指字符串中不包含重复字符的子串。例如，字符串 "abcabc" 中有 7 个唯一子串：

• "a"
• "b"
• "c"
• "ab"
• "bc"
• "ca"
• "abc"

2. 正交分解法

正交分解法是一种用于解决计数问题的数学方法。它将一个计数问题分解成多个正交子问题，然后分别解决这些子问题。最后，将子问题的解组合起来，得到整个问题的解。

在统计字符串中唯一子串数量的问题中，我们可以将问题分解成以下子问题：

• 计算字符串 s 中长度为 1 的唯一子串的数量。
• 计算字符串 s 中长度为 2 的唯一子串的数量。
• ...
• 计算字符串 s 中长度为 n 的唯一子串的数量。

这些子问题是正交的，因为它们彼此独立。我们可以分别解决这些子问题，然后将它们的解组合起来，得到整个问题的解。

3. 计算长度为 k 的唯一子串的数量

为了计算字符串 s 中长度为 k 的唯一子串的数量，我们可以使用以下公式：

C(n, k) = n! / (n - k)!

其中，n 是字符串 s 的长度，k 是子串的长度。

这个公式的解释是，长度为 k 的子串是由 k 个字符组成的。我们可以从 n 个字符中选择 k 个字符来组成子串。因此，长度为 k 的子串的数量等于 n 个字符中选择 k 个字符的组合数。

4. 计算字符串中唯一子串的总数

为了计算字符串 s 中唯一子串的总数，我们可以将长度为 1、2、3、...、n 的唯一子串的数量相加。

Total = C(n, 1) + C(n, 2) + ... + C(n, n)

这个公式的解释是，字符串 s 中唯一子串的总数等于所有长度的唯一子串的数量之和。

5. 示例

以下是一些示例，展示了如何使用正交分解法来计算字符串中唯一子串的数量：

• 字符串 "abcabc" 中有 7 个唯一子串：

C(6, 1) = 6! / (6 - 1)! = 6
C(6, 2) = 6! / (6 - 2)! = 30
C(6, 3) = 6! / (6 - 3)! = 60
C(6, 4) = 6! / (6 - 4)! = 30
C(6, 5) = 6! / (6 - 5)! = 6
C(6, 6) = 6! / (6 - 6)! = 1

Total = 6 + 30 + 60 + 30 + 6 + 1 = 133

• 字符串 "abc" 中有 7 个唯一子串：

C(3, 1) = 3! / (3 - 1)! = 3
C(3, 2) = 3! / (3 - 2)! = 3
C(3, 3) = 3! / (3 - 3)! = 1

Total = 3 + 3 + 1 = 7

• 字符串 "a" 中有 1 个唯一子串：

C(1, 1) = 1! / (1 - 1)! = 1

Total = 1

6. 总结

正交分解法是一种用于解决计数问题的数学方法。它将一个计数问题分解成多个正交子问题，然后分别解决这些子问题。最后，将子问题的解组合起来，得到整个问题的解。

在统计字符串中唯一子串数量的问题中，我们可以将问题分解成多个正交子问题，然后分别解决这些子问题。最后，将子问题的解组合起来，得到整个问题的解。

正交分解法是一种简单而有效的数学方法，可以用于解决各种各样的计数问题。它在组合数学和概率论中都有着广泛的应用。