机器学习中的正则化：了解权重衰减及其手动实现

2023-11-06 22:48:34

深度学习模型在解决复杂问题方面取得了卓越的成果，但过度拟合往往是这些模型面临的一个挑战。正则化技术旨在解决这一问题，通过引入约束来防止模型过度学习训练数据，从而增强泛化能力。其中一种有效的正则化技术是权重衰减。

权重衰减的原理

权重衰减是一种正则化技术，其思想是向损失函数中添加一个额外的项，该项根据模型权重的平方值进行惩罚。这种惩罚项鼓励模型降低权重的大小，从而减少模型对个别特征的依赖，增强泛化能力。

损失函数的公式：

L(w, b) = L_0(w, b) + λ * ||w||^2

其中：

L_0(w, b)：原始损失函数（例如交叉熵损失）
w：模型的权重
b：模型的偏置
λ：权重衰减系数，是一个超参数

手动实现权重衰减

我们可以通过修改梯度下降算法来手动实现权重衰减。在权重衰减的情况下，梯度更新公式变为：

w = w - η * (∇L_0(w, b) + 2 * λ * w)

其中：

η：学习率
∇L_0(w, b)：原始损失函数关于权重的梯度

应用示例

考虑一个包含以下人工数据集的神经网络模型：

y = 0.05 + 0.01 * x_1 + 0.01 * x_2 + ε

我们可以使用权重衰减来防止模型过度拟合训练数据，并增强其泛化能力。

代码实现

我们可以使用以下 Python 代码手动实现权重衰减：

import numpy as np

def weight_decay_gd(X, y, w, b, eta, lambda_, max_iters):
  """
  使用权重衰减的手动梯度下降算法

  参数：
    X：特征矩阵
    y：标签向量
    w：权重向量
    b：偏置
    eta：学习率
    lambda_: 权重衰减系数
    max_iters：最大迭代次数
  """

  for _ in range(max_iters):
    # 计算梯度
    grad_w = 2 * np.dot(X.T, (np.dot(X, w) + b - y)) + 2 * lambda_ * w
    grad_b = 2 * np.sum(np.dot(X, w) + b - y)

    # 更新权重和偏置
    w -= eta * grad_w
    b -= eta * grad_b

  return w, b

# 设置参数
X = np.array([[0, 0], [0, 1], [1, 0], [1, 1]])
y = np.array([0, 1, 1, 0])
w = np.zeros(2)
b = 0
eta = 0.01
lambda_ = 0.01
max_iters = 1000

# 调用权重衰减梯度下降函数
w, b = weight_decay_gd(X, y, w, b, eta, lambda_, max_iters)

# 打印结果
print("权重：", w)
print("偏置：", b)