翻转对难题：揭秘数组中的隐藏结构

前端

2023-11-01 12:07:43

在计算机科学领域，算法的复杂性分析是一个至关重要的课题。而翻转对问题正是其中一个经典的难题，它要求我们找出数组中满足特定条件的元素对，并计算其数量。

什么是翻转对？

在给定一个数组 nums，如果存在一对元素 (i, j)，其中 i < j 且 nums[i] > 2 * nums[j]，那么我们就称这对元素为一个重要翻转对。

算法策略

解决翻转对问题，我们可以采用分治算法。该算法将数组分成更小的部分，并递归地计算每个部分中的翻转对数量。具体步骤如下：

1. 递归分解： 将数组分为两个大小相等的部分（如果数组长度为奇数，则较大的部分包含额外的元素）。

2. 计数跨越部分的翻转对： 对数组的两个部分分别进行翻转对计数。然而，当跨越两个部分时，会出现额外的翻转对。我们需要计算这些额外的翻转对数量。

3. 合并结果： 将两个部分的翻转对数量相加，并返回总数量。

优化技巧

为了提高算法效率，我们可以采用以下技巧：

1. 合并排序： 使用归并排序将数组分成更小的部分，同时计算跨越部分的翻转对。

2. 二分搜索： 在计算跨越部分的翻转对时，使用二分搜索快速找到每个元素在另一部分中的位置。

代码示例（Python）

def count_inversions(nums):
  if len(nums) <= 1:
    return 0

  mid = len(nums) // 2
  left_inv = count_inversions(nums[:mid])
  right_inv = count_inversions(nums[mid:])
  split_inv = count_split_inversions(nums[:mid], nums[mid:])

  return left_inv + right_inv + split_inv

def count_split_inversions(left, right):
  left_idx = 0
  right_idx = 0
  split_inv = 0

  while left_idx < len(left) and right_idx < len(right):
    if left[left_idx] > 2 * right[right_idx]:
      split_inv += len(left) - left_idx
      right_idx += 1
    else:
      left_idx += 1

  return split_inv