Bitwise Operations: A Five-Minute Guide to Their Power and Elegance

五分钟掌握位运算操作，领略其巧妙之处

曾经在车站候车时无聊之余，我便回顾了先前学过的算法。其中有一道题：虽然不难，但进一步优化却颇具挑战，考验着面试者的数学和计算机二进制操作的基础。

说白了，就是看你是否真正理解计算机的二进制操作。

实际上，该算法的时间复杂度为 O(n)，但本质上是一个涉及位运算的数学问题。

位运算操作的基本概念

位运算操作是在二进制数的位级别上执行的。计算机以二进制的形式存储数据，即由 0 和 1 组成。位运算允许我们直接操作这些位，执行逻辑和算术运算。

常用的位运算符

常用的位运算符包括：

• &（与）：逐位比较两个二进制数，如果对应位都为 1，则结果为 1，否则为 0。
• |（或）：逐位比较两个二进制数，如果对应位有一个为 1，则结果为 1，否则为 0。
• ^（异或）：逐位比较两个二进制数，如果对应位不同，则结果为 1，否则为 0。
• ~（非）：将二进制数的每个位取反，即 0 变 1，1 变 0。
• <<（左移）：将二进制数的位向左移动指定位数，左侧补 0。
• >>（右移）：将二进制数的位向右移动指定位数，左侧补符号位。

位运算操作的巧妙运用

位运算操作的巧妙运用可以极大地提高算法效率和简化代码。例如，我们可以使用位运算来：

• 快速判断一个数是否是偶数（通过与 1 做与运算）。
• 设置或清除一个二进制数的特定位。
• 快速查找两个整数的最小公倍数和最大公约数。

示例：优化一个算法

回到前面提到的算法优化问题。原始算法使用循环来计算一个整数中 1 的个数。通过使用位运算，我们可以大幅提升效率：

def count_ones(n):
  """计算整数 n 中 1 的个数。"""

  count = 0
  while n > 0:
    if n & 1 == 1:
      count += 1
    n >>= 1
  return count

优化后的代码：

def count_ones(n):
  """计算整数 n 中 1 的个数。"""

  count = 0
  while n > 0:
    count += n & 1
    n >>= 1
  return count

通过使用按位与运算 (n & 1)，我们消除了条件判断，从而提升了性能。

结语

位运算操作是计算机科学中的一把利器。理解并巧妙运用它们，可以极大地提升算法效率和简化代码。无论你是算法竞赛选手还是软件工程师，掌握位运算操作都是必不可少的技能。