Python解决LeetCode 2145. Count the Hidden Sequences，巧用数学思维突破难题

深入理解 LeetCode 2145：用递推公式破解隐藏序列

简介：

LeetCode 2145 是一道在第 70 场双周赛中出现的 Medium 难度题目，考验着我们的数学思维和递推公式运用能力。乍一看可能有些复杂，但透过现象看本质，这是一道名副其实的找规律题目。

理解题意：

题目要求我们计算给定元素个数 n 和不同数字个数 k 的情况下，隐藏序列的数量。隐藏序列的定义是这样的：一个序列中的元素是 1 到 k 之间的整数，且相邻元素的差的绝对值不超过 1。

寻找规律：

解题的关键在于找出隐藏序列的规律。通过观察样例和思考，我们可以发现：

• 当 n 和 k 都为 1 时，隐藏序列数量为 1。
• 当 n 或 k 为 2 时，隐藏序列数量为 2。
• 当 n 或 k 为 3 时，隐藏序列数量为 4。
• 当 n 或 k 为 4 时，隐藏序列数量为 8。

进一步分析，我们发现隐藏序列的数量与 n 和 k 的最大值成正相关。

递推公式的推导：

基于上述规律，我们可以推导出递推公式：

dp[n][k] = dp[n-1][k] + dp[n][k-1]

其中：

• dp[n][k] 表示包含 n 个元素和 k 个不同数字的隐藏序列数量。

算法步骤：

根据递推公式，我们可以设计一个算法来计算隐藏序列的数量：

1. 初始化一个二维数组 dp，其中 dp[1][1] 为 1，其他元素均为 0。
2. 按照递推公式，依次计算 dp 数组中的其他元素的值。
3. 返回 dp[n][k]，即隐藏序列的数量。

代码示例（Python）：

def count_hidden_sequences(n: int, k: int) -> int:
    """
    计算隐藏序列的数量。

    Args:
        n: 元素个数
        k: 不同数字个数

    Returns:
        隐藏序列的数量
    """
    dp = [[0] * (k + 1) for _ in range(n + 1)]
    dp[1][1] = 1

    for i in range(2, n + 1):
        for j in range(1, k + 1):
            dp[i][j] = dp[i - 1][j] + dp[i][j - 1]

    return dp[n][k]

总结：

LeetCode 2145 是一道看似复杂，实则通过找规律和递推公式便能轻松破解的题目。掌握了解题思路和算法步骤后，相信大家都能迎刃而解。

常见问题解答：

1. 为什么隐藏序列的数量与 n 和 k 的最大值成正相关？

   因为隐藏序列中的元素范围是 1 到 k，随着 n 或 k 的增大，可选择的元素范围也随之增大，导致隐藏序列数量增多。

2. 递推公式中的 dp[n-1][k] 和 dp[n][k-1] 分别代表什么？

   dp[n-1][k] 代表包含 n-1 个元素和 k 个不同数字的隐藏序列数量，而 dp[n][k-1] 代表包含 n 个元素和 k-1 个不同数字的隐藏序列数量。

3. 算法的时间复杂度是多少？

   该算法的时间复杂度为 O(n*k)，其中 n 是元素个数，k 是不同数字个数。

4. 如何优化算法性能？

   可以采用备忘录模式或动态规划技术来优化算法性能，避免重复计算。

5. 这道题的变种有哪些？

   这道题可以拓展出许多变种，例如允许元素重复，或者元素范围不连续等。