用最低数量的硬币支付任意金额

2023-12-12 16:29:56

硬币组合问题是一个经典的计算机科学问题，它要求我们用最少的硬币数量来支付任意金额。这个问题在现实生活中有很多应用，例如自动售货机、收银机和货币兑换。

我们可以使用动态规划算法来解决硬币组合问题。动态规划是一种解决优化问题的技术，它将问题分解成一系列子问题，然后逐一解决这些子问题。

在硬币组合问题中，我们可以将问题分解成如下子问题：

给定一个金额n和一组面值{c1, c2, ..., cn}，求出用最少的硬币数量来支付n的方法数。
给定一个金额n和一组面值{c1, c2, ..., cn}，求出用最少的硬币数量来支付n的最优组合。

我们可以使用动态规划算法来解决这两个子问题。

对于第一个子问题，我们可以使用如下递推关系：

f(n) = min(f(n - c1), f(n - c2), ..., f(n - cn)) + 1

其中，f(n)表示用最少的硬币数量来支付n的方法数，c1, c2, ..., cn表示一组面值。

对于第二个子问题，我们可以使用如下递推关系：

g(n) = min(g(n - c1) + 1, g(n - c2) + 1, ..., g(n - cn) + 1)

其中，g(n)表示用最少的硬币数量来支付n的最优组合。

我们可以使用如下算法来解决硬币组合问题：

1. 输入金额n和一组面值{c1, c2, ..., cn}。
2. 初始化f(0) = 0，对于i = 1, 2, ..., n，将f(i)初始化为无穷大。
3. 对于i = 1, 2, ..., n，对于j = 1, 2, ..., n，如果n - cj >= 0，则更新f(n) = min(f(n), f(n - cj) + 1)。
4. 初始化g(0) = 0，对于i = 1, 2, ..., n，将g(i)初始化为空列表。
5. 对于i = 1, 2, ..., n，对于j = 1, 2, ..., n，如果n - cj >= 0，则如果f(n) = f(n - cj) + 1，则将g(n)更新为g(n - cj)加上cj。
6. 输出f(n)和g(n)。

我们可以使用如下示例来演示算法的应用：

给定金额n = 200和一组面值{1，2，5，10，20，50，100，200}，用最少的硬币数量来支付n。

1. 输入n = 200和{1，2，5，10，20，50，100，200}。
2. 初始化f(0) = 0，对于i = 1, 2, ..., 200，将f(i)初始化为无穷大。
3. 对于i = 1, 2, ..., 200，对于j = 1, 2, ..., 8，如果200 - cj >= 0，则更新f(200) = min(f(200), f(200 - cj) + 1)。
4. 初始化g(0) = 0，对于i = 1, 2, ..., 200，将g(i)初始化为空列表。
5. 对于i = 1, 2, ..., 200，对于j = 1, 2, ..., 8，如果200 - cj >= 0，则如果f(200) = f(200 - cj) + 1，则将g(200)更新为g(200 - cj)加上cj。
6. 输出f(200)和g(200)。

算法输出结果为f(200) = 3和g(200) = [100, 100, 100]。这意味着我们可以用3张100元纸币来支付200元。

给定金额n = 100和一组面值{1，2，5，10，20，50，100}，用最少的硬币数量来支付n。

1. 输入n = 100和{1，2，5，10，20，50，100}。
2. 初始化f(0) = 0，对于i = 1, 2, ..., 100，将f(i)初始化为无穷大。
3. 对于i = 1, 2, ..., 100，对于j = 1, 2, ..., 7，如果100 - cj >= 0，则更新f(100) = min(f(100), f(100 - cj) + 1)。
4. 初始化g(0) = 0，对于i = 1, 2, ..., 100，将g(i)初始化为空列表。
5. 对于i = 1, 2, ..., 100，对于j = 1, 2, ..., 7，如果100 - cj >= 0，则如果f(100) = f(100 - cj) + 1，则将g(100)更新为g(100 - cj)加上cj。
6. 输出f(100)和g(100)。