重拾经典，探索斐波那契数列的魅力：运用动态规划再显神通

2024-01-30 05:22:54

在算法的浩瀚海洋中，动态规划如同璀璨的明珠，以其巧妙的思想和广泛的应用，照亮了复杂问题的求解之路。而斐波那契数列，这门源远流长的数学瑰宝，为动态规划的演绎提供了绝佳的舞台。

斐波那契数列以其简单的递归定义闻名：每个数都是前两个数的和，从0和1开始。然而，这种看似朴素的序列却蕴藏着丰富的秘密，激发了无数数学家的探索热情。

斐波那契数列的递归实现

传统的斐波那契数列递归实现简单明了，直接套用其定义：

def fibonacci_recursive(n):
    if n == 0:
        return 0
    elif n == 1:
        return 1
    else:
        return fibonacci_recursive(n-1) + fibonacci_recursive(n-2)

然而，这种递归算法存在一个显而易见的缺点：大量的重复计算。对于每个n，我们都要递归调用 fibonacci_recursive(n-1) 和 fibonacci_recursive(n-2)，而这对于较大的n而言会造成指数级的时间复杂度。

动态规划登场：备忘录法

为了解决递归算法的重复计算问题，动态规划引入了一种巧妙的技术——备忘录法。备忘录法通过存储已计算过的结果，避免不必要的重复计算，从而大幅降低时间复杂度。

def fibonacci_memoization(n):
    memo = {}  # 存储已计算结果的备忘录
    if n == 0:
        return 0
    elif n == 1:
        return 1
    elif n in memo:
        return memo[n]
    else:
        result = fibonacci_memoization(n-1) + fibonacci_memoization(n-2)
        memo[n] = result
        return result

在备忘录法的优化下，算法的时间复杂度从指数级降低为线性级，大大提高了计算效率。

动态规划进阶：自底向上

备忘录法虽然解决了递归算法的重复计算问题，但它仍然存在一个缺点：需要存储所有的中间结果，这对于较大的n而言可能会造成空间上的开销。

自底向上方法是一种更具空间效率的动态规划技术。它从最小的子问题开始，逐步求解更大的子问题，最终得到整体问题的解。

def fibonacci_tabulation(n):
    dp = [0] * (n+1)  # 存储子问题的解
    dp[0] = 0
    dp[1] = 1
    for i in range(2, n+1):
        dp[i] = dp[i-1] + dp[i-2]
    return dp[n]