走入“夯实算法-打家劫舍 II”的深邃世界，开启奇幻的探索之旅

2023-11-21 10:19:39

动态规划揭秘：打家劫舍 II 的算法奥秘

问题剖析：

准备好潜入 "夯实算法：打家劫舍 II" 的奇妙世界了吗？在这个挑战中，你将扮演一个窃贼，目标是沿街偷窃房屋，获取最大的收益。不过，有一个限制：你不能连续偷窃相邻的房屋，否则会被发现。

算法剖析：

面对这一难题，动态规划算法闪亮登场。它是将复杂问题分解成一系列子问题的一种强大策略，能够帮助我们优化偷窃路径。

我们定义一个状态转移方程：

dp[i] = max(dp[i-1], dp[i-2] + nums[i])

其中：

dp[i] 表示偷窃前 i 间房屋的最大收益。
dp[i-1] 表示偷窃前 i-1 间房屋的最大收益。
dp[i-2] 表示偷窃前 i-2 间房屋的最大收益。
nums[i] 表示第 i 间房屋的现金数量。

偷窃策略：

利用动态规划算法，我们可以计算出偷窃每间房屋的最大收益。在计算过程中，我们需要权衡两种选择：

选择偷窃当前房屋： 收益为 dp[i-2] + nums[i]。
选择不偷窃当前房屋： 收益为 dp[i-1]。

我们会选择收益最大的策略，不断推进，直到计算出偷窃所有房屋的最大收益。

算法优化：

为了提高算法的效率，我们可以采用备忘录法进行优化。在计算每个子问题时，我们将结果存储在备忘录中，当需要再次计算时，直接从备忘录中读取，避免重复计算。

问题拓展：

"打家劫舍 II" 的挑战不止于此。我们可以探索更多拓展问题，例如：

如果房屋呈环形排列，你该如何修改算法？
如果房屋中存放的物品价值不同，你如何调整算法？
如果偷窃房屋的限制条件发生变化，你如何修改算法？

代码示例：

def rob(nums):
    # 定义备忘录
    memo = {}

    # 递归求解偷窃最大收益
    def helper(i):
        if i < 0:
            return 0
        if i in memo:
            return memo[i]

        # 考虑两种选择：偷窃或不偷窃当前房屋
        max_profit = max(helper(i-1), helper(i-2) + nums[i])

        # 将计算结果存储在备忘录中
        memo[i] = max_profit

        return max_profit

    # 计算所有房屋的最大收益
    return helper(len(nums) - 1)