轻松掌握！动态规划跳出困境

前端

2023-08-24 21:58:08

动态规划：从“跳跃游戏 II”中跳出困境

简介

在软件开发的复杂世界中，我们经常面临需要解决复杂问题的挑战。动态规划是一种强大的算法技术，可以帮助我们分解这些问题，并以有效的方式找到解决方案。让我们使用一个实际的例子，“45. 跳跃游戏 II”，来探索动态规划的威力。

什么是动态规划？

动态规划是一种解决问题的策略，它将问题分解成更小的、可管理的子问题。每个子问题的解决方案被存储起来，以便在解决更大的问题时重用。这可以显著提高算法的效率，因为它避免了对相同子问题的重复计算。

用动态规划解决“45. 跳跃游戏 II”

“45. 跳跃游戏 II”的问题是，给定一个数组 nums，其中 nums[i] 表示从索引 i 跳跃的最大距离，要求找出从索引 0 到最后一个索引的最少跳跃数。

1. 定义子问题

子问题是找到从当前索引 i 到最后一个索引 n-1 的最少跳跃数。

2. 定义状态

状态包括当前索引 i 和已经进行的跳跃数 j。

3. 定义状态转移方程

状态转移方程用于更新当前状态：

dp[i] = min(dp[i], dp[j] + 1)

其中：

dp[i]：从索引 i 到最后一个索引的最小跳跃数
dp[j]：从索引 j 到最后一个索引的最小跳跃数
j：索引 i 之前的索引，且 nums[j] + j >= i

4. 初始化状态

我们从索引 0 开始，因此初始化 dp[0] 为 0。

5. 执行动态规划

我们从最简单的子问题开始，然后逐渐解决更复杂的子问题。对于每个索引 i，我们遍历之前的索引 j，并更新 dp[i] 为 dp[j] + 1 的最小值。

6. 返回结果

最后，dp[n-1] 包含从索引 0 到最后一个索引的最少跳跃数。

代码示例（Python）

def jump(nums):
    """
    :type nums: List[int]
    :rtype: int
    """
    n = len(nums)
    dp = [float('inf')] * n
    dp[0] = 0

    for i in range(1, n):
        for j in range(i):
            if j + nums[j] >= i:
                dp[i] = min(dp[i], dp[j] + 1)

    return dp[n-1]