直线和圆相交交点求解：抛弃二分法，拥抱向量法

见解分享

2023-04-07 08:21:41

直线与圆相交交点求解的向量法，解锁更优解！

在解析几何的广阔天地里，直线与圆的相交点求解是一项基础且重要的任务，广泛应用于数学竞赛、工程制图、物理建模等领域。传统上，我们常借助二分法来求解交点，但它存在计算量大、对初始搜索区间敏感、易陷入死循环等缺陷。

向量法的优势，一招制敌

与二分法相比，向量法求解直线与圆相交交点可谓一招制敌，拥有以下优势：

高效简洁： 只需一次计算即可求得交点，避免了二分法的多次迭代。
搜索区间不敏感： 只要初始搜索区间包含交点，向量法都能准确求出。
不会陷入死循环： 始终能够收敛到准确的交点。

向量法求解步骤，清晰明了

向量法求解直线与圆相交交点的步骤清晰明了，一气呵成：

参数方程化： 将直线方程化为参数方程形式。
一般方程化： 将圆方程化为一般方程形式。
代入求解： 将参数方程代入一般方程，整理得到一个二次方程。
求解二次方程： 求出二次方程的实根。
代回参数方程： 将实根代回参数方程，即可得到交点。

实例探究，直观理解

考虑直线方程 y = 2x - 1 和圆方程 x^2 + y^2 = 4，我们用向量法求解它们的交点：

参数方程化： 直线方程为 r = (-1, 0) + t(1, 2)。
一般方程化： 圆方程为 (x - 0)^2 + (y - 0)^2 = 2^2。
代入求解： 代入得到 5t^2 - 4t + 1 = 0。
求解二次方程： 解得 t = 1, 1/5。
代回参数方程： 得到交点 (1, 1) 和 (1/5, 1/5)。

代码示例，实践操作

以下Python代码示例展示了向量法求解直线与圆相交交点：

import numpy as np

# 输入直线和圆的方程
line_eq = "y = 2x - 1"
circle_eq = "x^2 + y^2 = 4"

# 参数方程化直线
p = np.array([-1, 0])
u = np.array([1, 2])

# 一般方程化圆
c = np.array([0, 0])
r = 2

# 构造二次方程系数
A = u.dot(u)
B = 2 * p.dot(u)
C = p.dot(p) - r**2

# 求解二次方程
t = np.roots([A, B, C])

# 计算交点
x1 = p[0] + t[0] * u[0]
y1 = p[1] + t[0] * u[1]
x2 = p[0] + t[1] * u[0]
y2 = p[1] + t[1] * u[1]

# 输出交点
print(f"交点1：({x1}, {y1})")
print(f"交点2：({x2}, {y2})")