完全平方数：实现动态规划的妙招

前端

2023-10-01 19:08:36

许多算法的解题关键在于分析子问题的独立性和重叠性，而动态规划常常适用于这类题目。在解决这类问题时，我们可以使用自底向上的方式，逐步构建解决方案，从而找到最佳方案。

1. 简介

在本文中，我们将探讨一个使用动态规划解决的经典算法问题——完全平方数 。我们通过解析问题，将该问题分解成更小的子问题，以便逐一解决。

2. 问题

给定一个正整数n，求出实现n的完全平方和的最小组合数。例如，给定n=13，其完全平方和的最小组合数为2，即13=4+9=2^2+3^2。

3. 分析

3.1 子问题的独立性和重叠性

我们首先分析子问题的独立性和重叠性。如果子问题彼此独立，那么我们就可以并行地解决它们，而不会影响最终的解决方案。但是，如果子问题存在重叠，那么我们就需要避免重复的计算。

在完全平方数问题中，子问题之间确实存在重叠。例如，在计算n=13的完全平方和的最小组合数时，我们需要先计算n=12、n=11、n=10等的完全平方和的最小组合数。因此，如果我们使用递归的方法直接解决这个问题，就会产生大量的重复计算。

3.2 动态规划的应用

为了避免重复计算，我们可以使用动态规划来解决这个问题。动态规划是一种自底向上的解决问题的方法，它将问题分解成更小的子问题，然后逐一解决这些子问题，并存储中间结果。这样，当我们再次需要计算某个子问题时，我们就可以直接从存储的中间结果中获取，而无需重新计算。

4. 解法

4.1 动态规划算法

function perfectSquares(n) {
  // 初始化动态规划数组
  const dp = new Array(n + 1).fill(Infinity);
  dp[0] = 0; // 将第一个数（0的完全平方和）设为0

  // 遍历从1到n的所有数
  for (let i = 1; i <= n; i++) {
    // 尝试所有可能的完全平方数j^2
    for (let j = 1; j * j <= i; j++) {
      // 如果当前数减去完全平方数j^2是非负数，则更新dp[i]
      if (i - j * j >= 0) {
        dp[i] = Math.min(dp[i], dp[i - j * j] + 1);
      }
    }
  }

  return dp[n];
}

4.2 时间复杂度和空间复杂度

该算法的时间复杂度为O(n*sqrt(n))，空间复杂度为O(n)。

5. 扩展

我们还可以使用贪心算法来解决这个问题，贪心算法是一种自顶向下的解决问题的方法，它在每一步选择当前最优的解，而不管这个解是否会导致全局最优解。

贪心算法的实现如下：

function perfectSquares2(n) {
  // 初始化结果数组
  const result = [];

  // 从最大的完全平方数开始
  let i = Math.floor(Math.sqrt(n));

  // 循环直到n变为0
  while (n > 0) {
    // 如果当前数是完全平方数，则将其添加到结果数组并从n中减去
    if (i * i <= n) {
      result.push(i * i);
      n -= i * i;
    }

    // 否则，将i减一并继续循环
    else {
      i--;
    }
  }

  return result.length;
}