LeetCode 三角形最小路径和：O(n) 空间复杂度的巧妙解法

2023-09-29 23:50:38

前言

在探索计算机科学算法的迷人世界时，我们经常会遇到一些优雅而高效的解法，它们巧妙地利用了问题的特定特性来节省空间或时间。LeetCode 120 三角形最小路径和问题就是这样一个引人注目的例子，它挑战我们找到从三角形的顶部到底部的一条路径，使得沿途数字之和最小。

问题

给定一个三角形，其中每个节点包含一个整数，找到从三角形的顶部到任意底层节点的一条路径，使得沿途数字之和最小。每一步，你可以移动到同一层相邻的两个节点之一。

例如，对于如下三角形：

最小路径和为 11，即 2 + 3 + 5 + 1。

传统解法：自顶向下，O(2^n) 空间复杂度

最直接的解法是采用自顶向下的递归方法。在每个节点，我们计算向左和向右移动的最小路径和，然后返回较小的一个。这个解法虽然简单明了，但空间复杂度为 O(2^n)，其中 n 是三角形的层数。这是因为在递归调用过程中，为每个可能的路径都创建了一个新的栈帧。

O(n) 空间复杂度解法：自底向上，动态规划

为了优化空间复杂度，我们可以采用自底向上的动态规划方法。这个方法从三角形的底部开始，逐渐向上累加最小路径和。具体步骤如下：

初始化 ：将三角形的底部层作为备忘录，存储每个节点的最小路径和。
递推：对于第 i 层的每个节点，计算它的最小路径和，即当前节点的值加上前一层的左右节点的最小路径和中较小的一个。更新备忘录。
向上递推 ：重复步骤 2，直到到达三角形的顶部。

通过这种方法，我们只存储当前层和前一层的备忘录，从而将空间复杂度降低到 O(n)。

备忘录优化

为了进一步优化空间复杂度，我们可以观察到在计算第 i 层节点的最小路径和时，我们只需要前一层的备忘录中相邻的两个节点。因此，我们可以使用一个滑动窗口来维护前一层的备忘录，从而将空间复杂度进一步降低到 O(1)。

代码示例

以下是使用动态规划和备忘录优化的 Python 代码示例：

def minimum_total(triangle):
    n = len(triangle)

    # 初始化备忘录
    memo = triangle[-1]

    # 自底向上递推
    for i in range(n - 2, -1, -1):
        # 滑动窗口维护备忘录
        for j in range(i + 1):
            memo[j] = triangle[i][j] + min(memo[j], memo[j + 1])

    return memo[0]