LeetCode 1508：子数组和排序后的区间和，细致讲解

2024-02-02 04:00:31

问题概述

LeetCode 1508 题给定一个数组 nums，包含 n 个正整数。我们需要计算所有非空连续子数组的和，并将它们按升序排序，得到一个新的包含 n * (n + 1) / 2 个数字的数组。

2. 算法思想

为了解决这个问题，我们可以采用动态规划和前缀和的方法。

2.1 动态规划

我们使用动态规划来计算所有连续子数组的和。定义 dp[i][j] 为从数组 nums 中索引为 i 到索引为 j 的所有元素的和。那么，dp[i][j] 可以通过以下递推公式计算：

dp[i][j] = dp[i - 1][j] + nums[i]

其中，dp[i - 1][j] 是从数组 nums 中索引为 i - 1 到索引为 j 的所有元素的和。

2.2 前缀和

为了快速计算子数组的和，我们可以使用前缀和数组 prefix_sum。prefix_sum[i] 表示从数组 nums 中索引为 0 到索引为 i 的所有元素的和。那么，prefix_sum[j] - prefix_sum[i - 1] 就是从数组 nums 中索引为 i 到索引为 j 的所有元素的和。

3. 算法步骤

创建一个 dp 数组，其中 dp[i][j] 表示从数组 nums 中索引为 i 到索引为 j 的所有元素的和。
创建一个前缀和数组 prefix_sum，其中 prefix_sum[i] 表示从数组 nums 中索引为 0 到索引为 i 的所有元素的和。
使用动态规划的递推公式计算 dp 数组。
使用前缀和数组计算所有子数组的和。
将所有子数组的和按升序排序，得到最终结果。

4. 代码示例

def range_sum_sorted_array(nums):
    """
    计算所有非空连续子数组的和，并将它们按升序排序。

    参数：
        nums: 包含正整数的数组

    返回：
        排序后的子数组和数组
    """

    n = len(nums)
    # 创建 dp 数组
    dp = [[0] * n for _ in range(n)]

    # 创建前缀和数组
    prefix_sum = [0] * n
    prefix_sum[0] = nums[0]
    for i in range(1, n):
        prefix_sum[i] = prefix_sum[i - 1] + nums[i]

    # 使用动态规划计算 dp 数组
    for i in range(n):
        dp[i][i] = nums[i]
        for j in range(i + 1, n):
            dp[i][j] = dp[i][j - 1] + nums[j]

    # 计算所有子数组的和
    subarray_sums = []
    for i in range(n):
        for j in range(i, n):
            subarray_sums.append(dp[i][j])

    # 将所有子数组的和按升序排序
    subarray_sums.sort()

    return subarray_sums