线性回归的求解之旅：从矩阵方程到梯度下降的数学奥秘

2023-10-21 13:26:40

线性回归：机器学习中的指南针，开启预测之门

踏入机器学习的浩瀚海洋，线性回归宛如一艘不可或缺的帆船，指引我们驶向预测的彼岸。它的本质在于找到一条完美的直线，连接输入变量与目标变量，为我们的预测保驾护航。

然而，揭开线性回归的神秘面纱绝非易事，我们必须深入其核心，理解求解其关键方程的奥秘。矩阵方程和梯度下降 ，这两大法宝将在我们的求解征途中扮演至关重要的角色。

矩阵方程：线性回归的基石

设想我们手握一个包含 m 个样本的训练集，每个样本由 n 个输入特征组成。我们可以将这些特征组织成一个 m 行 n 列的矩阵 X，并将目标变量排列成一个 m 行 1 列的向量 y。

线性回归模型的精髓就在于寻找一条拟合线，将 X 中的输入变量与 y 中的目标变量联系起来。为了达到这一目的，我们需要最小化一个称为损失函数的量。而矩阵方程正是我们探索这条最佳拟合线的数学地图。

ŷ = Xβ

其中，ŷ 是预测的目标变量，β 是待估计的模型参数。

为了找到使损失函数最小的 β，我们可以使用矩阵方程：

(X^T X)β = X^T y

这个方程被称为正规方程，求解后可以得到模型参数 β 的最优值。

梯度下降：寻觅最佳参数的迭代之旅

然而，当数据集庞大时，求解正规方程的计算成本会变得非常高昂。此时，梯度下降算法便闪亮登场，它是一种迭代优化算法，可以逐步逼近最佳参数 β。

梯度下降的工作原理是，它不断更新参数 β，每次更新的步长都与损失函数的梯度成正比。梯度向量由损失函数对每个参数的偏导数组成。通过反复迭代，梯度下降算法最终收敛到最佳参数 β。

NumPy实现：用代码点亮数学之美

NumPy 是一个强大的 Python 库，它提供了对矩阵和向量进行操作的高效工具。利用 NumPy，我们可以轻松地将矩阵方程和梯度下降算法应用于线性回归问题。

以下是使用 NumPy 实现线性回归的代码片段：

import numpy as np

# 创建输入特征矩阵和目标变量向量
X = ...
y = ...

# 使用正规方程求解模型参数
beta = np.linalg.inv(X.T.dot(X)).dot(X.T).dot(y)

# 使用梯度下降算法求解模型参数
def gradient_descent(X, y, alpha, num_iters):
    m, n = X.shape
    beta = np.zeros(n)  # 初始化模型参数
    for _ in range(num_iters):
        # 计算梯度
        gradient = 2 / m * X.T.dot(X.dot(beta) - y)
        # 更新模型参数
        beta -= alpha * gradient
    return beta