剖析二进制数字存储的奥秘：揭开浮点数精度问题的深层逻辑
2023-09-23 23:18:32
二进制世界中的浮点数：揭开神秘的面纱
数字世界无处不在，而数字的核心本质离不开二进制的0和1。计算机内部就是采用这种简洁高效的二进制语言来存储信息，而比特位正是其存储的基础单位，每个比特位只能存储0或1两个值。
浮点数：小数的二进制表示
但是，当我们想要存储小数或分数等数值时，二进制存储就遇到了挑战。浮点数应运而生，它是一种专门用来表示小数或分数的二进制格式，能够很好地解决十进制小数无法精确表示的问题。
JavaScript采用了IEEE 754标准的双精度浮点格式来表示浮点数。双精度浮点格式使用64位比特来存储一个浮点数，其中：
- 符号位：占1位，表示数字的正负
- 指数位：占11位，表示数字的大小
- 尾数位：占52位，表示数字的小数部分
有效数字与舍入
双精度浮点格式中的有效数字为53位（包括隐藏的1位）。有效数字是指数字中不包含0的数字位数。
但由于二进制小数点后尾数位的限制，有些十进制数无法精确转换为二进制数。例如，十进制数0.1转换为二进制数为无穷不循环小数。此时，计算机就会进行舍入操作，将二进制数的小数部分四舍五入或直接截断，使其能够用有限位数的二进制数来表示。
舍入操作会导致精度损失，即二进制数与原始十进制数之间的差异。JavaScript采用最接近偶数的方式进行舍入操作，这意味着尾数位为5时，会根据前一位数字的奇偶性决定舍入结果。
精度问题与解决措施
精度问题是浮点运算中不可避免的。以下措施可以帮助我们减轻精度误差的影响：
- 使用更大精度的浮点格式： 双精度浮点格式的有效数字为53位，我们可以使用四精度或八精度等更高精度的浮点格式来减少舍入误差。
- 使用舍入误差较小的舍入方式： 最接近偶数舍入方式的舍入误差较大，我们可以使用最接近奇数或向正无穷大方向舍入等误差较小的舍入方式。
- 避免浮点运算比较： 浮点运算存在精度问题，因此在浮点运算中进行比较可能会得到错误的结果。我们可以使用整数运算或字符串比较来代替。
- 使用浮点运算库： 浮点运算库提供了高精度的浮点运算实现，可以有效地减少舍入误差。
示例代码
// 十进制小数 0.1
let decimal01 = 0.1;
console.log(decimal01); // 输出：0.1
// 将 0.1 转换为二进制浮点数
let binary01 = decimal01.toString(2);
console.log(binary01); // 输出：0.000110011001100110011001100110011001100110011001100110011001101...
// 观察二进制浮点数的尾数部分，它是一个无穷不循环小数，无法精确表示
console.log(binary01.substring(2, 20)); // 输出：00011001100110011001
常见问题解答
1. 为什么二进制存储无法精确表示所有十进制数？
因为二进制小数点后尾数位的限制，导致有些十进制数无法精确转换为二进制数。
2. 什么是舍入误差？
舍入误差是指浮点运算结果与真实结果之间的差异，它是由于舍入操作导致的精度损失。
3. 如何减轻浮点运算中的精度误差？
可以使用更大精度的浮点格式、舍入误差较小的舍入方式、避免浮点运算比较或使用浮点运算库等措施来减轻精度误差。
4. 什么是有效数字？
有效数字是指数字中不包含0的数字位数，对于双精度浮点格式，有效数字为53位。
5. JavaScript 中浮点运算采用什么舍入方式？
JavaScript 中浮点运算采用最接近偶数的舍入方式。
