611. 有效三角形的个数：代码题解与数学分析相结合的深入探究

引言

在 leetcode 的每日挑战中，我们遇到了一个看似简单的难题：611. 有效三角形的个数。然而，看似简单的表象之下，却隐藏着数学与编程的巧妙结合。本篇文章将带你深入探究这道题的解法，既有代码实现，又有数学分析，让你对这道题有更加透彻的理解。

问题

给定一个整数数组 nums，求出其中能组成有效三角形的个数。有效三角形是指三条边长均为正数且满足三角形不等式（两边之和大于第三边）的三角形。

代码解法

我们首先需要判断数组中是否至少有三个元素，如果没有，则无法组成任何三角形。接下来，我们对数组进行排序，因为有效的三角形必须满足两边之和大于第三边。

def count_valid_triangles(nums):
  if len(nums) < 3:
    return 0

  # 排序数组
  nums.sort()

  count = 0

  for i in range(len(nums) - 2):
    # 固定最长边
    max_side = nums[i + 2]

    # 寻找满足三角形不等式的两条边
    left, right = i + 1, i + 2
    while left < right and nums[left] + nums[right] <= max_side:
      left += 1
    
    # 计算满足条件的三角形个数
    count += right - left

  return count

数学分析

除了代码解法外，我们还可以用数学的方法来分析这道题。假设数组中有 n 个元素，那么可以组成三角形的个数为：

C(n, 3) = n * (n - 1) * (n - 2) / 6

其中 C(n, 3) 表示从 n 个元素中选取 3 个元素的组合数。这个公式的推导过程如下：

1. 固定最长边，共有 n 种选择。
2. 对于剩下的两条边，共有 n - 1 种选择。
3. 对于最短边，共有 n - 2 种选择。
4. 由于三角形对称，因此需要除以 6 来避免重复计算。

性能分析

代码解法的复杂度为 O(n^2)，其中 n 为数组的长度。而数学公式的计算复杂度为 O(1)。对于小规模的数据集，两种方法都可以快速得到结果。但对于大规模数据集，数学公式显然更具优势。

总结

611. 有效三角形的个数是一道看似简单但又蕴含深意的题目。通过代码解法和数学分析的结合，我们可以对这道题有更加透彻的理解。无论是初学者还是资深程序员，都能从这道题中学到新的知识。