Manachar算法(马拉车算法)：高效寻获最长回文子串

1. 算法原理

Manachar算法的核心思想是利用回文串的性质来简化匹配过程。回文串的特点是它从两边读是一样的，这种特性可以帮助我们大大缩减搜索范围。

举个例子，我们以字符串“aba”为例：

• 对于位置1处的字符"a"，它的左、右字符都是"a"，因此最长回文串的长度为3。
• 对于位置2处的字符"b"，它的左、右字符分别为"a"和"a"，由于"a"和"b"不同，因此以"b"为中心的最大回文串的长度为1。

通过这种思路，我们可以依次检查字符串中的每一个字符，并利用回文串的性质，在已经知道前一个位置的回文串长度的基础上，快速计算当前位置的回文串长度。

2. 实现步骤

1. 预处理：

   • 在字符串的开头和末尾添加特殊字符“$”和“#”，以确保字符串的两端都有一个分隔符。
   • 新建一个与字符串长度相同的数组P，用于存储每个字符的回文半径。

2. 遍历字符串：

   • 使用两个指针i和j，其中i是当前位置，j是中心位置。
   • 计算以i为中心的最长回文半径r。
   • 如果i+r<=j+P[j]，则P[i] = P[j]-(j-i)。
   • 如果i+r>j+P[j]，则计算i+r右边的回文半径，即P[i] = r。
   • 更新中心位置j和最长回文半径r。

3. 获取最长回文串：

   • 遍历P数组，找出回文半径最大的位置，该位置对应的字符串即为最长回文串。

3. 实例

给定字符串“abaab”，以下是Manachar算法的实现步骤：

1. 预处理：

   • 添加特殊字符："#a#b#a#a#b#"
   • 初始化P数组：[0, 0, 1, 0, 3, 0, 1, 0, 3, 0, 0]

2. 遍历字符串：

   • i=1，j=2，r=1，P[1]=1
   • i=2，j=2，r=1，P[2]=1
   • i=3，j=4，r=3，P[3]=3
   • i=4，j=4，r=1，P[4]=1
   • i=5，j=6，r=3，P[5]=3
   • i=6，j=6，r=1，P[6]=1
   • i=7，j=8，r=3，P[7]=3
   • i=8，j=8，r=1，P[8]=1
   • i=9，j=10，r=3，P[9]=3
   • i=10，j=10，r=1，P[10]=1

3. 获取最长回文串：

   • 最长回文半径为3，位于位置5，对应的字符串为“aba”。

4. 算法优势和应用场景

Manachar算法的优势在于时间复杂度低，平均时间复杂度为O(n)，其中n为字符串的长度。相较于传统的中心扩散法，该算法在处理较长字符串时具有显著优势。

Manachar算法广泛应用于字符串匹配和处理领域，如文本搜索、数据压缩、密码学等。它在生物信息学中也发挥着重要作用，如DNA序列分析和基因组测序。

5. 总结

Manachar算法作为一种高效的字符串匹配算法，以其低时间复杂度和广泛的应用场景而备受重视。它不仅为字符串处理提供了强大的工具，也为研究人员和开发者们打开了一个广阔的探索空间。