掌握树状数组，解锁高效区间查询与单点修改技巧

后端

2022-11-03 03:16:48

树状数组：高效区间查询与单点修改

在算法的广袤世界中，数据结构如同构建房子的基石，为高效算法奠定了坚实的基础。树状数组，一种优雅且简洁的数据结构，以其出色的单点修改和区间查询能力备受青睐。它如同一位善解人意的管家，游刃有余地处理数组上的各种难题，在众多领域大展身手。

树状数组的奥秘：结构与原理

树状数组并非神秘莫测，它建立在二进制索引的巧妙思想之上。它将一维数组巧妙地转化为一棵完全二叉树，每个节点对应数组中的一个元素。这种二进制索引的方式，宛如一张寻宝地图，能够快速定位和修改数组中的元素。

树状数组的利器：基本操作

树状数组的魅力在于其强大的基本操作，单点修改和区间查询，为数组处理带来了前所未有的便利。

单点修改： 就像拨动琴弦，树状数组可以轻松修改数组中某个元素的值，在悄无声息间完成数据的更新。
区间查询： 仿佛一位精明的会计师，树状数组能够迅速计算数组中某一段区间内所有元素的总和，为数据分析提供了有力支持。

树状数组的时效：时间复杂度

时间是算法中的珍宝，而树状数组在这方面表现得尤为出色。单点修改和区间查询操作的时间复杂度均为 O(log n)，其中 n 为数组的长度。这意味着，即使面对庞大数据集，树状数组也能游刃有余地完成任务，快如闪电！

树状数组的舞台：应用场景

树状数组并非昙花一现，它在处理数组问题上的应用场景可谓多姿多彩：

区间求和： 它就像一位超级计算器，瞬间算出数组中指定区间的元素之和，轻而易举地满足我们的求和需求。
最大子段和： 它是一位寻宝探险家，在数组中找到和最大的连续子段，为我们挖掘出最优解。
逆序对计数： 它如同一位聪慧的统计员，准确统计数组中逆序对的个数，揭示数据的潜在规律。

树状数组的实践：代码示例

class BinaryIndexedTree:
    def __init__(self, n):
        self.tree = [0] * (n + 1)

    def update(self, i, val):
        while i < len(self.tree):
            self.tree[i] += val
            i += i & -i

    def query(self, i):
        sum = 0
        while i > 0:
            sum += self.tree[i]
            i -= i & -i
        return sum

    def range_query(self, l, r):
        return self.query(r) - self.query(l - 1)

# 创建一个长度为10的树状数组
bit = BinaryIndexedTree(10)

# 更新树状数组中索引为5的元素，将其值增加10
bit.update(5, 10)

# 查询树状数组中索引为2到7的元素的和
result = bit.range_query(2, 7)

# 打印查询结果
print(result)  # 输出：30