斐波那契数列：一鱼四吃

2024-02-26 22:00:03

斐波那契数列：四个求解方法

什么是斐波那契数列？

斐波那契数列是一个令人着迷的数列，在数学、自然和科学中都有着广泛的应用。它的定义很简单：

第 0 项是 0
第 1 项是 1
从第 2 项开始，每一项都等于前两项之和

这导致了这样一个数列：

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, ...

求解斐波那契数列的四种方法

随着我们在斐波那契数列中前进，项变得越来越大。计算一个特定的项可以使用以下四种方法：

1. 递归

递归是一种解决问题的方法，其中一个函数调用它本身来解决一个较小的子问题。对于斐波那契数列，递归算法如下：

def fibonacci_recursive(n):
    if n == 0:
        return 0
    elif n == 1:
        return 1
    else:
        return fibonacci_recursive(n - 1) + fibonacci_recursive(n - 2)

2. 循环

循环是一种重复执行一段代码的结构。对于斐波那契数列，循环算法如下：

def fibonacci_iterative(n):
    a, b = 0, 1
    for _ in range(n):
        a, b = b, a + b
    return a

3. 闭式公式

闭式公式是一个直接给出斐波那契数列第 n 项值的公式。对于斐波那契数列，闭式公式如下：

fibonacci(n) = (φ^n - (1 - φ)^n) / √5

其中 φ = (1 + √5) / 2 是黄金分割点。

4. 代码示例

为了让这些方法更清楚，这里有使用 Python 实现的代码示例：

# 递归
def fibonacci_recursive(n):
    if n == 0:
        return 0
    elif n == 1:
        return 1
    else:
        return fibonacci_recursive(n - 1) + fibonacci_recursive(n - 2)

# 循环
def fibonacci_iterative(n):
    a, b = 0, 1
    for _ in range(n):
        a, b = b, a + b
    return a

# 闭式公式
def fibonacci_closed_form(n):
    φ = (1 + 5 ** 0.5) / 2
    return round((φ ** n - (1 - φ) **   n) / 5 ** 0.5)

# 测试
for i in range(10):
    print(f"fibonacci({i}):")
    print(f"  Recursive: {fibonacci_recursive(i)}")
    print(f"  Iterative: {fibonacci_iterative(i)}")
    print(f"  Closed Form: {fibonacci_closed_form(i)}\n")