经典算法：粉刷房子问题，用最小的代价刷出最靓丽的房子

2023-09-11 12:10:17

粉刷房子问题：用最小的代价刷出最靓丽的房子

简介

粉刷房子问题是一个经典的算法问题，它可以追溯到 1958 年。这个问题的目的是在一个给定的房子序列中找到最小的粉刷成本，使得相邻的房子不能被涂成相同的颜色。

问题

给定一个由 n 个房子组成的序列，每个房子都可以被涂成红、蓝或绿这三种颜色。粉刷每种颜色的代价分别为红、蓝、绿三种颜色。例如，如果一个房子的粉刷成本为 [1, 2, 3]，那么将其粉刷成红色的代价为 1，将其粉刷成蓝色的代价为 2，将其粉刷成绿色的代价为 3。

你的目标是找到一个粉刷方案，使得总代价最小。

解决方案

粉刷房子问题可以通过动态规划算法来解决。动态规划是一种自顶向下的优化方法，它通过将问题分解成更小的子问题，然后逐一解决这些子问题，最终找到最优解。

在粉刷房子问题中，我们可以将问题分解成如下子问题：

第一个房子应该被涂成什么颜色？
第二个房子应该被涂成什么颜色？
以此类推，直到最后一个房子。

对于每个子问题，我们都可以考虑三种不同的颜色，然后选择代价最小的颜色。例如，对于第一个房子，我们可以考虑将其涂成红色、蓝色或绿色。如果红色的代价为 1，蓝色的代价为 2，绿色的代价为 3，那么我们应该选择红色的方案。

一旦我们解决了第一个子问题，我们就可以继续解决下一个子问题。对于下一个子问题，我们可以考虑两种不同的颜色，因为相邻的房子不能被涂成相同的颜色。例如，如果第一个房子被涂成了红色，那么第二个房子只能被涂成蓝色或绿色。如果蓝色的代价为 2，绿色的代价为 3，那么我们应该选择蓝色的方案。

以此类推，我们可以逐一解决所有的子问题，最终找到最优解。

代码实现

def paint_house(costs):
  """
  Args:
    costs: A list of lists, where each inner list contains the costs of painting a house in three different colors.

  Returns:
    The minimum cost of painting all the houses.
  """

  # Initialize a 2D array to store the minimum cost of painting the first i houses in three different colors.
  dp = [[0] * 3 for _ in range(len(costs) + 1)]

  # Iterate over the houses.
  for i in range(1, len(costs) + 1):
    # Iterate over the colors.
    for j in range(3):
      # Calculate the minimum cost of painting the ith house in color j.
      dp[i][j] = min(dp[i - 1][(j + 1) % 3], dp[i - 1][(j + 2) % 3]) + costs[i - 1][j]

  # Return the minimum cost of painting all the houses.
  return min(dp[-1])


if __name__ == "__main__":
  costs = [[1, 2, 3], [5, 6, 7], [4, 3, 2]]
  print(paint_house(costs))