智斗石子，妙招频出：解密LeetCode 877号难题

见解分享

2024-01-18 10:35:46

石子游戏的博弈策略

LeetCode 877 号问题「石子游戏」的规则并不复杂，但想要在游戏中取得胜利，却需要缜密的思考和对博弈策略的深刻理解。

游戏一开始，喜羊羊和灰太狼面前摆放着几堆石子，这些石子排成一行，每堆石子都有一个正整数。两人轮流从这些石子堆中拿走一定数量的石子，但每次拿走石子的数量必须是石子堆中石子数量的一半或一半以下。

最终，当所有石子都被拿走后，手中石子最多的一方获胜。

动态规划的强大威力

面对如此烧脑的石子游戏，动态规划算法无疑是最佳的解题利器。动态规划是一种自底向上的求解方式，它将问题分解成一系列较小的子问题，然后依次解决这些子问题，最后将子问题的解综合起来，得到整个问题的解。

在「石子游戏」中，我们可以将每个石子堆的状态定义为一个子问题，子问题的解就是在这个石子堆中，喜羊羊和灰太狼谁能够获得最多的石子。

我们从最简单的情况开始，即只有一堆石子时，显然，拿走这堆石子的那一方将获得所有的石子。然后，我们将问题扩展到有两堆石子时，此时，喜羊羊和灰太狼可以分别拿走一堆石子，或者都从同一堆石子中拿走石子。

通过分析，我们可以发现，如果喜羊羊先手，那么他应该从石子数量较多的那堆石子中拿走一半以上的石子，这样灰太狼就没有机会从这堆石子中拿走更多的石子。同理，如果灰太狼先手，他也应该从石子数量较多的那堆石子中拿走一半以上的石子。

当石子堆的数量越来越多时，问题的复杂度也随之增加。但动态规划算法的优势在于，它可以将整个问题分解成一系列较小的子问题，然后依次解决这些子问题，最后将子问题的解综合起来，得到整个问题的解。

算法的具体步骤

将问题分解成一系列较小的子问题，即每个石子堆的状态。
为每个子问题定义一个状态转移方程，即从一个子问题到另一个子问题的变化规律。
自底向上地求解这些子问题，直到得到整个问题的解。

在「石子游戏」中，状态转移方程可以表示为：

dp[i, j] = max(sum[i, j] - dp[i + 1, j], sum[i, j] - dp[i, j - 1])

其中，dp[i, j]表示从石子堆i到石子堆j，喜羊羊能够获得的最多石子数。sum[i, j]表示从石子堆i到石子堆j的石子总数。

算法的代码实现

def stone_game(piles):
    n = len(piles)
    dp = [[0] * n for _ in range(n)]

    for i in range(n - 1, -1, -1):
        for j in range(i, n):
            if i == j:
                dp[i][j] = piles[i]
            else:
                dp[i][j] = max(sum(piles[i:j + 1]) - dp[i + 1][j],
                                sum(piles[i:j + 1]) - dp[i][j - 1])

    return dp[0][n - 1]


if __name__ == '__main__':
    piles = [1, 2, 3, 4, 5]
    result = stone_game(piles)
    print(result)