主组件和因子分析：R 专家指南

探索数据降维：R 中的主成分分析和探索性因子分析

什么是数据降维？

想象你面前有一张巨大的图片，上面有数百万个像素。虽然这张图片包含了丰富的信息，但它也可能杂乱无章，难以理解。数据降维就像将这张大图片压缩成一张较小的图片，只保留最重要的信息。

主成分分析 (PCA) 和探索性因子分析 (EFA)

PCA 和 EFA 是两种强大的数据降维技术。它们通过识别数据中的模式和趋势，帮助我们简化复杂的高维数据集。

主成分分析

PCA 将相关且高维的特征转换成更少且线性无关的新特征，称为主成分。这些主成分按方差从大到小排列，表示数据中最重要的变异。

探索性因子分析

EFA 识别潜在因子，这些因子解释了观察值之间的相关性。它通过提取少数公因子来简化复杂现象，从而使我们能够更好地理解数据的底层结构。

高级应用

在 R 中，我们可以使用高级技术来增强 PCA 和 EFA 的应用：

• PCA 碎石图： 绘制碎石图可帮助我们选择保留的主成分数。
• 主成分可视化： 使用可视化技术探索主成分之间的关系。
• EFA 因子可视化： 绘制因子图可帮助我们理解因子之间的关系。
• 规范方差最大化 (Varimax) ：旋转因子以最大化因子的差异性。
• 直接方差最大化 (Promax) ：旋转因子以允许相关因子。

实战演练

让我们使用 R 来执行 PCA 和 EFA：

数据： UCI 手写笔迹数据集

PCA 代码：

# 载入数据
hand_written <- read.csv("hand_written.csv")

# PCA
pca_model <- prcomp(hand_written)

# 碎石图
screeplot(pca_model)

# 主成分可视化
plot_pca <- ggplot(data.frame(pca_model$rotation), aes(PC1, PC2)) +
  theme_bw() +
  expand_margins(match = "x") +
  scale_y_continuous(breaks = c(-1, 0, 1)) +
  scale_x_continuous(breaks = c(-1, 0, 1)) +
  expand_margins(match = "y") +
  text(x = c(-1, 0, 1), y = 1, label = c(-1, 0, 1)) +
  text(x = 1, y = c(-1, 0, 1), label = c(-1, 0, 1), hjust = c(1, 0, 0)) +
  xlab("主成分 1") +
  ylab("主成分 2")

print(plot_pca)

EFA 代码：

# EFA
efa_model <- factanal(hand_written)

# 因子可视化
fa.plot(efa_model)

高级扩展

探索数据降维的更多高级技术，包括：

• PCA 协方差矩阵正则化
• EFA 中的正交化和旋转

结论

PCA 和 EFA 是数据分析中不可或缺的工具，它们使我们能够简化复杂数据集并提取有见地和有可操作性的信息。通过利用高级技术，我们可以更深入地探索数据，解锁新的见解和发现。

常见问题解答

1. PCA 和 EFA 有什么区别？
   PCA 关注数据方差，而 EFA 关注相关性。

2. PCA 碎石图如何帮助我选择主成分数？
   碎石图显示方差随主成分数的变化。拐点指示最佳主成分数。

3. 为什么 EFA 中需要旋转因子？
   旋转因子有助于简化因子的解释，使其更容易理解。

4. 如何评价 PCA 和 EFA 模型？
   可以使用诸如累计方差和拟合优度等指标来评估模型的质量。

5. PCA 和 EFA 在哪些领域有应用？
   这些技术广泛应用于机器学习、图像处理和社会科学等领域。