解析欧拉计划第66题：只有Lisp能做？

闲谈

2024-02-05 13:20:17

引言

欧拉计划是一个广受欢迎的编程答题网站，提供一系列具有挑战性的数学问题。不同于要求完整代码的LeetCode，欧拉计划只需用户提交最终答案。这让欧拉计划成为一个探索不同编程语言的绝佳平台，其中Lisp以其独特的优势脱颖而出。

欧拉计划第66题

欧拉计划第66题的如下：

考虑函数f(x) = x^2 - D，其中D是一个正整数。如果对于4个不同整数a、b、c、d，有f(a) + f(b) = f(c) + f(d)成立，那么D最小值是多少？

数学原理

解决这一问题需要理解函数f(x)的性质。f(x)是一个二次函数，当x^2大于D时为正，小于D时为负。因此，要满足题目中的条件，f(a)和f(b)必须有一个为正，另一个为负。同样，f(c)和f(d)也必须有一个为正，另一个为负。

Lisp的优势

Lisp在解决这一问题上拥有独特优势，因为它可以轻松地处理函数式编程和递归。

函数式编程： Lisp本质上是一种函数式编程语言，这意味着它鼓励使用函数作为一等值。这使得将f(x)作为一个参数传递给其他函数变得容易，从而轻松地进行数学运算。
递归： Lisp还提供了强大的递归机制，允许函数调用自身。这使得可以简洁地解决涉及多个值的复杂问题，例如第66题中需要考虑的四元组。

解决步骤

使用Lisp解决第66题的步骤如下：

定义函数f(x)：

(defun f (x d)
  (- (* x x) d))

定义函数来查找满足条件的四元组：

(defun find-quadruple (d)
  (loop for a from 1 to (sqrt (+ d 1))
        for b from a to (sqrt (+ d 1))
        for c from b to (sqrt (+ d 1))
        for d from c to (sqrt (+ d 1))
        when (and (zerop (f a d))
                    (zerop (f b d))
                    (zerop (f c d))
                    (zerop (f d d)))
        collect (list a b c d)))

查找最小满足条件的D：

(loop for d from 1
      until (not (null (find-quadruple d)))
      collect d)

代码示例

以下Lisp代码提供了问题的完整解决方案：

(defun f (x d)
  (- (* x x) d))

(defun find-quadruple (d)
  (loop for a from 1 to (sqrt (+ d 1))
        for b from a to (sqrt (+ d 1))
        for c from b to (sqrt (+ d 1))
        for d from c to (sqrt (+ d 1))
        when (and (zerop (f a d))
                    (zerop (f b d))
                    (zerop (f c d))
                    (zerop (f d d)))
        collect (list a b c d)))

(loop for d from 1
      until (not (null (find-quadruple d)))
      collect d)