怪哉！卡特兰数解题公式乘除顺序不同结果不同！

后端

2023-01-11 05:00:15

卡特兰数公式：乘除顺序颠倒的惊人发现

引言

在算法的世界里，数字排列组合蕴藏着无穷奥秘，卡特兰数便是其中之一。当我们试图用卡特兰数公式解决leetcode-96不同的二叉搜索树问题时，却意外遭遇了一个匪夷所思的现象——乘除顺序的颠倒居然会导致截然不同的结果！

卡特兰数与不同的二叉搜索树

卡特兰数是一个特殊的整数序列，在组合数学和计算机科学中有着广泛的应用。在leetcode-96不同的二叉搜索树问题中，卡特兰数被用来计算具有 n 个结点的不同二叉搜索树的数量。

乘除顺序颠倒后的奇葩结果

当我们使用卡特兰数公式来解决这个问题时，我们发现了一个奇怪的现象。如果我们按照公式中给定的乘除顺序进行计算，那么结果是正确的。然而，如果我们将乘除顺序颠倒过来，那么结果却完全不同。

代码示例

# 正确的计算方式
def catalan(n):
    if n == 0:
        return 1
    result = 0
    for i in range(n):
        result += catalan(i) * catalan(n - i - 1)
    return result

# 错误的计算方式
def catalan_incorrect(n):
    if n == 0:
        return 1
    result = 0
    for i in range(n):
        result += catalan_incorrect(n - i - 1) * catalan_incorrect(i)
    return result

上面的代码中，catalan 函数是正确的计算方式，而 catalan_incorrect 函数是错误的计算方式。我们可以看到，这两个函数的区别仅仅在于乘除顺序的不同。然而，这种细微的变化却导致了完全不同的结果。

乘除顺序对结果的影响

那么，为什么乘除顺序的不同会对结果产生如此巨大的影响呢？这背后的数学原理是什么？

其实，问题的关键在于卡特兰数公式中乘除号的优先级。在数学中，乘除号的优先级高于加减号。因此，当我们按照正确的乘除顺序进行计算时，乘除号会首先被执行，然后才是加减号。然而，当我们将乘除顺序颠倒过来时，加减号就会优先于乘除号被执行。

这种优先级差异导致了不同的计算结果。在正确的计算方式中，我们首先计算 catalan(i) 和 catalan(n - i - 1)，然后将它们相乘并累加。而在错误的计算方式中，我们首先计算 catalan(n - i - 1) 和 catalan(i)，然后将它们相乘并累加。这两种计算方式的顺序不同，导致了不同的结果。

结论

卡特兰数公式乘除顺序颠倒后的奇葩结果，揭示了乘除顺序对结果的影响。这背后的数学原理和算法逻辑值得我们深入探讨和学习。它提醒我们，在进行数学运算和算法编程时，一定要注意运算符的优先级，否则可能会导致错误的结果。

常见问题解答