以有向无环图最长路径问题策略洞悉矩阵最长递增路径

2024-01-14 06:26:04

矩阵最长递增路径问题，是计算机科学领域的一个经典问题。给定一个由正整数组成的矩阵，要求找到从矩阵中的某个单元格出发，可以走过的最长的递增路径的长度。

我们可以把矩阵中的每个单元格看作一个点，而若一个点的值小于相邻点的值，那么就看作这两个点之间有一条有向边，由小的点指向大的点。这样，求最长递增路径的问题，就变成了求有向无环图最长路径的问题。

我们可以用深度优先搜索来解决这个问题。深度优先搜索是一种沿着一条路径一直往下搜索的算法。我们可以从矩阵中的任意一个点出发，沿着递增路径一直搜索下去，直到无法继续搜索为止。然后，我们将搜索到的路径长度记录下来，并与之前记录的路径长度进行比较，取较大的那个。重复这个过程，直到我们搜索完矩阵中的所有点。最后，我们记录的路径长度就是矩阵的最长递增路径长度。

def longest_increasing_path(matrix):
  """
  求矩阵最长递增路径长度

  参数：
    matrix: 一个由正整数组成的矩阵

  返回：
    矩阵的最长递增路径长度
  """

  # 初始化最长路径长度为 0
  max_length = 0

  # 初始化每个点的最长路径长度为 0
  dp = [[0 for _ in range(len(matrix[0]))] for _ in range(len(matrix))]

  # 遍历矩阵中的每个点
  for i in range(len(matrix)):
    for j in range(len(matrix[0])):
      # 从当前点出发，计算最长递增路径长度
      length = dfs(matrix, i, j, dp)

      # 更新最长路径长度
      max_length = max(max_length, length)

  return max_length


def dfs(matrix, i, j, dp):
  """
  从当前点出发，计算最长递增路径长度

  参数：
    matrix: 一个由正整数组成的矩阵
    i: 当前点的行坐标
    j: 当前点的列坐标
    dp: 每个点的最长路径长度

  返回：
    从当前点出发，最长递增路径的长度
  """

  # 如果已经计算过当前点的最长路径长度，则直接返回
  if dp[i][j] != 0:
    return dp[i][j]

  # 初始化当前点的最长路径长度为 1
  max_length = 1

  # 遍历当前点的相邻点
  for dx, dy in [(1, 0), (-1, 0), (0, 1), (0, -1)]:
    x = i + dx
    y = j + dy

    # 如果当前点的相邻点在矩阵范围内，并且相邻点的值大于当前点的值，则递归计算相邻点的最长路径长度
    if 0 <= x < len(matrix) and 0 <= y < len(matrix[0]) and matrix[x][y] > matrix[i][j]:
      length = dfs(matrix, x, y, dp)

      # 更新当前点的最长路径长度
      max_length = max(max_length, length + 1)

  # 将当前点的最长路径长度存储在 dp 中
  dp[i][j] = max_length

  # 返回当前点的最长路径长度
  return max_length