数字排列出最大值的三种神奇操作

闲谈

2023-09-03 20:07:05

引言

算法不仅限于晦涩难懂的计算机术语，它还存在于我们日常生活中。今天，我们将踏入一个有趣的数学世界，探索一种奇妙的算法——“数字排列出最大值”。我们将在这个过程中领略算法之美，并学习如何将复杂问题分解成简单步骤，从而找到最优解。

算法

在“数字排列出最大值”问题中，我们给定n个数字，并且可以对这n个数字进行如下三种操作中的任意一种：

把数组中的任意一个数字删除；
把数组中的任意一个数字乘以2；
把数组中的任意一个数字乘以3。

我们的目标是找到一种操作方案，使得n个数字排列出来的最大值最大。

算法实现

我们可以使用动态规划来解决这个问题。具体步骤如下：

定义状态：

dp[i][j][k] = 最大值

其中，

i = 当前操作的步数
j = 剩余的数字个数
k = 当前数字排列

初始化状态：

dp[0][n][任何排列] = 0

状态转移方程：
对于每个操作，我们都可以得到一个新的状态。例如，对于删除操作，我们有：

dp[i+1][j-1][k'] = max(dp[i+1][j-1][k'], dp[i][j][k])

其中，

k' = k删除一个数字后的排列

对于乘以2操作，我们有：

dp[i+1][j][k'] = max(dp[i+1][j][k'], dp[i][j][k] * 2)

对于乘以3操作，我们有：

dp[i+1][j][k'] = max(dp[i+1][j][k'], dp[i][j][k] * 3)

答案：

dp[n][0][任何排列]

算法分析

这个算法的时间复杂度是O(3^n * n^2)，空间复杂度是O(3^n * n^2)。

代码实现

def max_value(arr):
    n = len(arr)
    dp = [[[0 for _ in range(3**n)] for _ in range(n+1)] for _ in range(n+1)]

    for i in range(n+1):
        for j in range(n+1):
            dp[i][j][0] = 0

    for i in range(1, n+1):
        for j in range(1, n+1):
            for k in range(1, 3**n):
                # 删除操作
                dp[i][j-1][k // 3] = max(dp[i][j-1][k // 3], dp[i-1][j][k])
                # 乘以2操作
                dp[i][j][k * 2] = max(dp[i][j][k * 2], dp[i-1][j][k])
                # 乘以3操作
                dp[i][j][k * 3] = max(dp[i][j][k * 3], dp[i-1][j][k])

    return dp[n][0][(1 << n) - 1]


if __name__ == "__main__":
    arr = [1, 2, 3, 4, 5]
    print(max_value(arr))