兵来将挡，水来土掩，复杂数组的复杂分割

2023-12-16 08:23:40

问题

给定一个由n个整数组成的数组nums和一个阈值threshold，我们的任务是将nums分割成k个子数组，使得每个子数组的元素总和不超过threshold。也就是说，我们希望找到一个分割方案，使得每个子数组[nums[i], nums[i+1], ..., nums[j]]满足以下条件：

0 ≤ i ≤ j < n
i = j意味着子数组只有一个元素
nums[i] + nums[i+1] + ... + nums[j] ≤ threshold

我们的目标是找到一种分割方案，使得子数组的数量k最小。

动态规划

动态规划是一种自底向上的求解方法，适用于具有最优子结构的问题。在我们的问题中，最优子结构体现在于：一个数组nums的最小分割方案可以由其子数组的最小分割方案组成。因此，我们可以利用动态规划的思想，从子问题入手，逐渐解决整个问题。

具体而言，我们可以定义一个二维数组dp[i][j]，其中dp[i][j]表示将nums[0], nums[1], ..., nums[j]分割成i个子数组的最小分割方案。我们从dp[1][0]开始计算，因为将一个元素分割成一个子数组的最小分割方案显然是1。然后，我们逐个计算dp[i][j]，其中1 ≤ i ≤ k且1 ≤ j < n。对于每个dp[i][j]，我们考虑两种情况：

nums[j]加入到最后一个子数组中。在这种情况下，dp[i][j]等于dp[i][j-1]。
nums[j]作为新子数组的第一个元素。在这种情况下，dp[i][j]等于dp[i-1][j-1] + 1。

我们选择两种情况中较小的一个作为dp[i][j]的值。

def min_partitions(nums, threshold, k):
  """
  动态规划法求解数组分割问题。

  参数：
    nums: 输入数组。
    threshold: 分割阈值。
    k: 子数组数量。

  返回：
    最小分割方案。
  """

  n = len(nums)
  dp = [[float('inf') for _ in range(n)] for _ in range(k + 1)]
  dp[1][0] = 0

  for i in range(2, k + 1):
    for j in range(1, n):
      dp[i][j] = min(dp[i][j-1], dp[i-1][j-1] + 1)

  return dp[k][n-1]

回溯法

回溯法是一种自顶向下的求解方法，适用于具有多个可行解的问题。在我们的问题中，回溯法可以用来枚举所有可能的分割方案，并找出满足条件的最小分割方案。

具体而言，我们可以从一个空子数组开始，逐个添加元素，直到达到或超过阈值threshold。当达到或超过阈值时，我们将当前子数组加入到分割方案中，并继续枚举下一个子数组。如果枚举到最后一个元素，且当前分割方案满足条件，则将其保存为最小分割方案。

def min_partitions_backtracking(nums, threshold, k):
  """
  回溯法求解数组分割问题。

  参数：
    nums: 输入数组。
    threshold: 分割阈值。
    k: 子数组数量。

  返回：
    最小分割方案。
  """

  n = len(nums)
  min_partitions = float('inf')

  def backtrack(index, current_sum, current_partitions):
    nonlocal min_partitions

    if index == n:
      if current_partitions == k:
        min_partitions = min(min_partitions, current_partitions)
      return

    # 将nums[index]加入到最后一个子数组中。
    backtrack(index + 1, current_sum + nums[index], current_partitions)

    # 将nums[index]作为新子数组的第一个元素。
    if current_sum + nums[index] <= threshold:
      backtrack(index + 1, nums[index], current_partitions + 1)

  backtrack(0, 0, 0)
  return min_partitions

贪心算法

贪心算法是一种贪婪地求解问题的算法，它总是选择当前看来最优的解决方案。在我们的问题中，贪心算法可以用来选择最优的子数组分割点。

具体而言，我们可以先对nums进行排序，然后从第一个元素开始，逐个添加元素到最后一个子数组，直到达到或超过阈值threshold。当达到或超过阈值时，我们将当前子数组加入到分割方案中，并继续枚举下一个子数组。

def min_partitions_greedy(nums, threshold, k):
  """
  贪心算法求解数组分割问题。

  参数：
    nums: 输入数组。
    threshold: 分割阈值。
    k: 子数组数量。

  返回：
    最小分割方案。
  """

  nums.sort()

  partitions = []
  current_sum = 0

  for num in nums:
    if current_sum + num <= threshold:
      current_sum += num
    else:
      partitions.append(current_sum)
      current_sum = num

  partitions.append(current_sum)

  if len(partitions) <= k:
    return len(partitions)
  else:
    return -1