程序员必刷题LeetCode450 删除二叉搜索树中的节点详解

问题

给定一个二叉搜索树的根节点 root 和一个值 key，要求我们删除树中与 key 对应的节点。同时保证操作完后，树仍然是一个二叉搜索树，即维持其性质不变。

解决方案

题目要求算法时间复杂度为 O(h)，其中 h 为树的高度，这说明了解决方案必须是在树中搜索到 key 所在的节点，然后执行适当的操作来删除该节点及其子节点。

针对本题，我们可以采用迭代或递归两种方式。

1. 迭代解法：

   1. 从根节点 root 开始迭代搜索，依次遍历所有节点，直到找到要删除的节点 key。
   2. 当找到 key 时，将其删除，并考虑以下情况：
   • 若 key 节点是叶子节点，则直接将其删除。
   • 若 key 节点只有左子节点或右子节点，则用其子节点代替 key 节点的位置。
   • 若 key 节点同时拥有左子节点和右子节点，则需要找出 key 节点的前驱或后继节点，并用它替换 key 节点的位置，然后删除前驱或后继节点。
   • 在本方法中，我们选择使用前驱节点来替换 key 节点，因为其值一定小于 key，且仍然符合二叉搜索树的性质。
   3. 删除节点后，调整树的结构，确保其仍然是一个二叉搜索树。

2. 递归解法：

   1. 从根节点 root 开始进行递归调用，依次遍历所有节点，直到找到要删除的节点 key。
   2. 当找到 key 时，将其删除，并考虑与迭代解法相同的几种情况：
   • 若 key 节点是叶子节点，则直接将其删除。
   • 若 key 节点只有左子节点或右子节点，则用其子节点代替 key 节点的位置。
   • 若 key 节点同时拥有左子节点和右子节点，则需要找出 key 节点的前驱或后继节点，并用它替换 key 节点的位置，然后删除前驱或后继节点。
   3. 删除节点后，递归地调整树的结构，确保其仍然是一个二叉搜索树。

复杂度分析

无论是迭代解法还是递归解法，其时间复杂度均为 O(h)，其中 h 为树的高度，因为在最坏情况下，需要遍历整棵树才能找到要删除的节点。

示例

考虑以下二叉搜索树：

        10
       /  \
      5    15
     / \    /  \
    2   8  12   20

如果我们要删除节点 8，那么根据我们的算法，我们首先从根节点 10 开始搜索，依次访问 5、2、8。当找到节点 8 后，由于它有一个左子节点和一个右子节点，我们需要找到其前驱节点或后继节点，我们选择前驱节点 5，并将其与节点 8 的右子节点相连接。

删除节点 8 后，我们得到以下二叉搜索树：

        10
       /  \
      5    15
     / \    /  \
    2   6  12   20

可以看出，二叉搜索树的性质依然保持不变。

结语

删除二叉搜索树中的节点是LeetCode题库中一道经典的题目。通过这道题的讲解，读者可以熟悉二叉搜索树的基本性质和操作，并掌握迭代和递归两种解题方法。这些知识对于程序员来说非常重要，因为二叉搜索树在实际开发中经常被用来存储和管理有序数据。