三角形最小路径和：动态规划精要

2023-10-20 16:19:07

在计算机科学的广袤世界中，算法扮演着至关重要的角色，它们提供了一系列高效的解决问题的方法。动态规划（DP）算法作为算法家族中的杰出成员，以其巧妙地将问题分解成子问题，并存储子问题的解决方案以避免重复计算而著称。

本文将带领您深入探究三角形最小路径和问题，并运用动态规划的强大力量来解决它。三角形最小路径和问题的表述如下：给定一个三角形，其中每个节点包含一个值，求解从三角形顶部到底部的最小路径和。约束条件是，在向下移动时，只能移动到下一行中相邻的结点上。

为了解决这个问题，我们采用自顶向下的动态规划方法。我们将原问题分解成一系列子问题，每个子问题都对应三角形中的一个子三角形。通过解决这些子问题，我们逐步构建出整个三角形的最小路径和。

我们定义一个二维数组dp，其中dp[i][j]存储从三角形顶部到第i行第j列元素的最小路径和。初始化时，dp[i][j]的值全部为无穷大，表示不可达。

根据动态规划的基本原理，我们可以通过以下状态转移方程递推地计算dp[i][j]：

dp[i][j] = min(dp[i-1][j], dp[i-1][j-1]) + triangle[i][j]

其中，triangle[i][j]表示三角形中第i行第j列元素的值。

从这个状态转移方程可以看出，第i行第j列的最小路径和取决于其上方两行相邻元素的最小路径和。因此，我们可以按行从上到下，从左到右递推地计算dp数组。

完成递推计算后，dp[n-1][j]（其中n是三角形的高）即为所求的三角形最小路径和。

为了进一步提升效率，我们可以采用空间优化的滚动数组方法。在这种方法中，我们仅需一个一维数组来存储当前行的最小路径和，从而将空间复杂度从O(n^2)降至O(n)。

示例代码

以下是使用动态规划解决三角形最小路径和问题的示例代码：

def minimum_path_sum(triangle):
  n = len(triangle)

  # 初始化 dp 数组
  dp = [[float('inf')] * (i+1) for i in range(n)]

  # 初始化第一行
  dp[0][0] = triangle[0][0]

  # 递推计算 dp 数组
  for i in range(1, n):
    for j in range(i+1):
      if j > 0:
        dp[i][j] = min(dp[i][j], dp[i-1][j-1])
      dp[i][j] += triangle[i][j]

  # 返回最小路径和
  return dp[n-1][0]