轻松掌握Acwing847，玩转图中点的层次

BFS 算法：轻松解决图论问题

在计算机科学中，图论是研究图结构及其性质的学科。图是一种数据结构，由顶点（节点）和边（连接顶点的线）组成。图论在实际应用中非常广泛，例如社交网络、交通网络和计算机网络。

广度优先搜索（BFS）是一种遍历图的算法，它以起始顶点开始，首先访问与起始顶点相邻的所有顶点，然后依次访问这些顶点的相邻顶点，如此循环往复，直到访问完图中的所有顶点。BFS 算法简单易懂，效率可靠，是解决图论问题的首选算法之一。

图中点的层次：BFS 的典型应用

“图中点的层次”是图论中一个常见的问题，它要求找到图中每个顶点到起始顶点的最短路径长度。这个问题可以用 BFS 算法轻松解决。

BFS 算法步骤

BFS 算法的步骤如下：

1. 初始化：

   • 初始化一个队列，用于存储待访问的顶点。
   • 初始化一个 visited 数组，用于标记已访问的顶点。
   • 初始化一个 level 数组，用于存储每个顶点的层次。

2. 广度优先搜索：

   • 从起始顶点开始，将其加入队列并标记为已访问。
   • 循环访问队列中的顶点，并将其相邻顶点加入队列，并标记为已访问。同时，将每个顶点的层次存储在 level 数组中。

3. 获取结果：

   • 当我们访问完图中的所有顶点后，我们就能够从 level 数组中获取到每个顶点的层次信息。

代码示例：Acwing847 图中点的层次

def bfs(graph, start_node):
    # 初始化数据结构
    queue = [start_node]
    visited = [False] * (len(graph) + 1)
    level = [0] * (len(graph) + 1)
    visited[start_node] = True

    # 广度优先搜索
    while queue:
        current_node = queue.pop(0)
        for adjacent_node in graph[current_node]:
            if not visited[adjacent_node]:
                queue.append(adjacent_node)
                visited[adjacent_node] = True
                level[adjacent_node] = level[current_node] + 1

    # 返回结果
    return level

# 使用示例图进行测试
graph = [
    [],
    [2, 3],
    [1, 4],
    [1, 4],
    [2, 3]
]

# 从节点 1 开始进行广度优先搜索
result = bfs(graph, 1)

# 输出结果
print("层次信息：", result)

常见问题解答

1. BFS 算法的时间复杂度是多少？
   BFS 算法的时间复杂度为 O(V + E)，其中 V 是顶点的数量，E 是边的数量。

2. BFS 算法和深度优先搜索（DFS）算法有什么区别？
   BFS 算法采用广度优先的策略，逐层访问顶点，而 DFS 算法采用深度优先的策略，沿着一条路径一直深入下去。

3. BFS 算法在哪些应用场景下比较适合？
   BFS 算法特别适用于需要找到图中顶点之间的最短路径的问题。

4. BFS 算法的局限性是什么？
   BFS 算法不适用于有环的图，因为算法会陷入死循环。

5. 如何提高 BFS 算法的效率？
   可以使用队列优化技术和并查集优化技术来提高 BFS 算法的效率。