高智商盗窃：198 打家劫舍的动态规划秘籍

打家劫舍：动态规划揭秘

准备好了吗？我们将踏上一段刺激的旅程，潜入“打家劫舍”的惊心动魄世界。在这场智力与勇气并存的游戏中，我们的目标是成为名副其实的“高智商盗窃犯”，在不触发警报的情况下盗取最大的财富。

动态规划：破解密码

要在这个游戏中胜出，我们需要掌握一门秘密武器——动态规划。动态规划是一种解决复杂问题的强大技术，它将问题分解成一系列较小的、可解决的子问题，并通过递推的方式逐步求解。

定义状态：规划我们的行动

我们的第一步是定义一个动态规划状态，记为 dp[i]，其中 i 表示房屋编号。dp[i] 的值代表从第一间房屋到第 i 间房屋可以偷窃的最大价值。

递推关系：探索我们的选择

接下来，我们需要根据 dp[i] 的定义来推导出一个递推关系式。假设我们已经知道了从第一间房屋到第 i-1 间房屋的最大价值 dp[i-1]。那么，从第一间房屋到第 i 间房屋的最大价值 dp[i] 将取决于两个选项：

1. 抢劫第 i 间房屋： 此时，我们可以获得第 i 间房屋的价值，即 nums[i]。然而，由于不能连续抢劫相邻的房屋，我们无法偷窃第 i-1 间房屋。因此，偷窃第 i 间房屋的最大价值为 dp[i-2] + nums[i]。

2. 不抢劫第 i 间房屋： 此时，我们可以跳过第 i 间房屋，继续偷窃第 i+1 间房屋。因此，不偷窃第 i 间房屋的最大价值为 dp[i-1]。

比较这两个选项，我们取其中较大的值作为 dp[i] 的值：

dp[i] = max(dp[i-2] + nums[i], dp[i-1])

算法流程：规划我们的行动

现在，我们有了动态规划的状态和递推关系式，就可以开始计算 dp[i] 的值了。我们可以从第一间房屋开始，依次计算出从第一间房屋到第 i 间房屋的最大价值 dp[i]。最终，答案即为 dp[n]，其中 n 是房屋的总数。

算法流程如下：

1. 初始化：dp[0] = nums[0]，dp[1] = max(nums[0], nums[1])
2. 循环：从 i = 2 到 n
    a. 计算 dp[i-2] + nums[i]
    b. 计算 dp[i-1]
    c. 取其中较大的值作为 dp[i] 的值
3. 返回：dp[n]

逆向追踪：揭示我们的策略

动态规划不仅仅为我们提供了答案，它还告诉了我们如何获得答案。我们可以通过逆向追踪的方法来找出偷窃的房屋序列。

从最后一间房屋开始，如果 dp[i] 的值为 dp[i-2] + nums[i]，那么我们知道第 i 间房屋被偷窃了。如果 dp[i] 的值为 dp[i-1]，那么我们知道第 i 间房屋没有被偷窃。依次往前追踪，直到第一间房屋，我们就能得到偷窃的房屋序列。

结论：我们成为胜利者

恭喜你！你现在已经掌握了“打家劫舍”的动态规划解法。你不仅是一名出色的盗贼，还掌握了一项强大的技术——动态规划。它将帮助你解决各种复杂的问题，从编程挑战到现实生活中的难题。

常见问题解答

1. 动态规划的优点是什么？
动态规划可以将复杂问题分解成一系列较小的、可解决的子问题，从而高效地求解问题。它还可以提供问题的最优解以及获得该解的途径。

2. 动态规划的局限性是什么？
动态规划需要存储每个子问题的解，这可能会导致内存消耗。此外，对于某些问题，动态规划可能需要指数级的时间复杂度。

3. 如何选择动态规划状态？
动态规划状态应该反映问题的本质，并应该能够有效地定义子问题。它通常是问题的某个阶段或子集。

4. 递推关系式如何导出？
递推关系式了如何从较小的子问题的解来计算当前子问题的解。它应该基于动态规划状态的定义和问题约束。

5. 逆向追踪有什么用？
逆向追踪允许我们从问题的最终解推导出解决方案的序列。这对于了解问题的最优解是如何获得的很有用。