遞推算法與遞推套路：算法基礎篇

遞推算法與遞推套路 （算法基礎篇）

我們經常會碰到這樣的問題，一個量是由它本身的歷史決定的，比如，費氏數列（Fibonacci numbers）是一個正整數數列，其中除了第一個和第二個數之外，後面的每個數都等於前面兩個數的和。

這種問題可以用遞推算法來求解，遞推算法是數學中求解遞推關係（Recurrence Relation）的方法。

遞推關係

遞推關係是一個數學方程式，它定義了一個數列中的每個元素是如何從前面的元素計算得來的。例如，費氏數列的遞推關係為：

F(n) = F(n-1) + F(n-2)

其中，F(n) 表示費氏數列中的第 n 個元素。

遞推算法

遞推算法是一種使用遞推關係來計算數列中每個元素的算法。遞推算法的步驟如下：

1. 給出數列中的第一個或幾個元素。
2. 使用遞推關係計算出數列中後面的元素。
3. 繼續計算，直到計算出所有需要的元素。

遞推套路

遞推套路是一種使用遞推算法來求解問題的通用方法。遞推套路包括以下步驟：

1. 定義遞推關係。
2. 給出數列中的第一個或幾個元素。
3. 使用遞推關係寫出遞推算法。
4. 分析遞推算法的時間複雜度和空間複雜度。
5. 編寫代碼實現遞推算法。
6. 測試代碼並驗證結果。

遞推算法的優缺點

遞推算法的優點：

• 簡單易懂，容易實現。
• 可以用於求解各種遞推關係問題。

遞推算法的缺點：

• 時間複雜度和空間複雜度可能很高。
• 可能會出現棧溢出（Stack Overflow）錯誤。

遞推算法的應用

遞推算法在計算機科學中有很多應用，例如：

• 計算費氏數列。
• 求解遞歸問題。
• 生成組合數和排列數。
• 計算數學期望和方差。

練習題

1. 使用遞推算法計算費氏數列的前 10 個元素。
2. 使用遞推套路求解以下遞推關係：

a(n) = 2a(n-1) + 3 a(1) = 1

參考文獻

• 遞推算法
• 遞推套路