纵览全局，破解跳跃游戏 IV：精妙算法，一招制敌

见解分享

2023-12-20 17:23:03

动态规划：登峰造极

在跳跃游戏中，动态规划是一个强大的工具，它可以帮助我们找到最优解。其核心思想是将问题分解成更小的子问题，并逐步解决这些子问题，最终得到全局最优解。

分解问题：化繁为简

我们将原问题分解成更小的子问题：给定一个位置 i，我们如何找到从位置 i 跳到终点的最少步数？这个问题可以进一步分解：如果我们已经知道从位置 i+1 到终点的最少步数，那么从位置 i 跳到终点的最少步数是多少？

状态定义：精准把握

为了解决子问题，我们需要定义状态。状态是问题的关键信息，它可以帮助我们跟踪问题解决的进展。在本问题中，我们可以将状态定义为 f(i)，表示从位置 i 跳到终点的最少步数。

状态转移：步步为营

接下来，我们需要定义状态转移方程。状态转移方程告诉我们如何从一个状态转移到另一个状态。在本问题中，状态转移方程可以表示为：

f(i) = min(f(i+1), f(i+2), ..., f(i+arr[i])) + 1

这个方程的含义是：从位置 i 跳到终点的最少步数，等于从位置 i+1、i+2、...、i+arr[i] 中选择一个最小的步数，然后加 1。

动态规划：逐层递进

有了状态定义和状态转移方程，我们就可以使用动态规划来解决问题了。动态规划是一个自底向上的方法，它从最小的子问题开始，逐步解决更大的子问题，最终解决原问题。

在跳跃游戏中，我们可以从最后的位置开始，逐步计算每个位置到终点的最少步数。具体步骤如下：

初始化：将 f(n) 设置为 0，其中 n 是数组 arr 的长度。
从 n-1 到 0 循环：
- 计算 f(i) 的值，使用状态转移方程。
- 将 f(i) 的值与 f(i+1)、f(i+2)、...、f(i+arr[i]) 中最小的值进行比较，并选择最小的值作为 f(i) 的新值。

算法实现：一气呵成

以下是跳跃游戏 IV 的 Python 代码实现：

def min_jumps(arr):
    """
    计算从数组的第一个元素跳到最后一个元素的最少步数。

    Args:
        arr (list): 整数数组。

    Returns:
        int: 最少步数。
    """

    # 初始化
    n = len(arr)
    f = [float('inf')] * n
    f[n-1] = 0

    # 从 n-1 到 0 循环
    for i in range(n-2, -1, -1):
        # 计算 f(i) 的值
        for j in range(1, arr[i]+1):
            if i+j < n:
                f[i] = min(f[i], f[i+j] + 1)

    # 返回 f(0)
    return f[0]

复杂度分析：精益求精

跳跃游戏 IV 的时间复杂度为 O(n^2)，其中 n 是数组 arr 的长度。这是因为我们从 n-1 到 0 循环，并在每个循环中计算 f(i) 的值。计算 f(i) 的值需要 O(n) 的时间，因为我们需要比较 f(i) 的值与 f(i+1)、f(i+2)、...、f(i+arr[i]) 中最小的值。

跳跃游戏 IV 的空间复杂度为 O(n)，因为我们需要存储数组 f。